Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng ABFPE.DCGQH với ABFE là hình chữ nhật và EFP là tam giác cân tại P. Gọi T là trung điểm của DC
14/22
Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng \[ABFPE.DCGQH\] với \[ABFE\] là hình chữ nhật và \[EFP\] là tam giác cân tại \[P\]. Gọi \[T\] là trung điểm của \[DC\]. Các kích thước của kho chứa lần lượt là \[AB = 6m\]; \[AE = 5m\]; \[AD = 8m\]; \[QT = 7m\]. Người ta mô hình hóa nhà kho bằng cách chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ là điểm \[O\] thuộc đoạn \[AD\] sao cho \[OA = 2m\] và các trục tọa độ tương ứng như hình vẽ dưới đây. Khi đó:
Tọa độ của điểm \[Q\] là \[\left( { - 6\,;3\,;5} \right)\].
Vectơ \[\overrightarrow {OC} \] có tọa độ là \[\left( { - 6\,;6\,;0} \right)\].
Người ta muốn lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của \[FG\] và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí \[O\]. Người ta thiết kế đường dây cáp nối từ \[O\] đến \[K\] sau đó nối thẳng đến camera. Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng \[5 + 2\sqrt {10} \]m.
Mái nhà được lợp bằng tôn Hoa Sen, giá tiền mỗi mét vuông tôn là 130.000 đồng. Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là 3.750.000 đồng (không kể hao phí do việc cắt và ghép các miếng tôn, làm tròn kết quả đến hàng nghìn).
Lời giải
Hình lăng trụ đứng \[ABFPE.DCGQH\] với \[ABFE\] là hình chữ nhật và \[EFP\] là tam giác cân tại \[P\].
Gọi \[T\] là trung điểm của \[DC\].
\[AB = 6m\]; \[AE = 5m\]; \[AD = 8m\]; \[QT = 7m\]; \[OA = 2m\].
a) Ta có \[DT = \frac{1}{2}.DC = \frac{1}{2}.AB = \frac{1}{2}.6 = 3\](m).
\[OD = AD - OA = 8 - 2 = 6\] (m).
Vậy, tọa độ của điểm \[Q\] là \[\left( { - 6\,;3\,;7} \right)\]. Vậy a SAI.
b) Ta có \[C\left( { - 6\,;\,6\,;\,0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OC} \left( { - 6\,;\,6\,;\,0} \right)\]. Vậy b ĐÚNG.
c) Ta có \[K\left( {0\,;\,0\,;\,5} \right) \Rightarrow OK = 5\].
\[F\left( {2\,;\,6\,;\,5} \right)\], \[G\left( { - 6\,;\,6\,;\,5} \right)\]\[ \Rightarrow \]Trung điểm của \[FG\] là \[I\left( { - 2\,;\,6\,;\,5} \right)\].
\[ \Rightarrow \overrightarrow {KI} = \left( { - 2;6;0} \right) \Rightarrow KI = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {6^2} + {0^2}} = \sqrt {40} = 2\sqrt {10} \].
\[ \Rightarrow \] Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng \[OK + KI = 5 + 2\sqrt {10} \]m. Vậy c ĐÚNG.
d) Ta có \[EH = FG = AD = 8\]m.
Gọi \[J = QT \cap HG \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}JG = \frac{1}{2}.HG = \frac{1}{2}.AB = \frac{1}{2}.6 = 3m\\QJ = QT - JT = QT - AE = 7 - 5 = 2m\end{array} \right.\].
\[\Delta QJG\] vuông tại \[J\] nên \[QG = \sqrt {Q{J^2} + J{G^2}} = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \] (m).
\[EFP\] là tam giác cân tại \[P\] nên \[PE = PF \Rightarrow \] \[{S_{EHQP}} = {S_{QPFG}}\].
\[{S_{EHQP}} = {S_{QPFG}} = QG.FG = QG.AD = \sqrt {13} .8 = 8\sqrt {13} \] (\[{m^2}\]).
Tổng diện tích mái là \[16\sqrt {13} {m^2}\].
Số tiền mua tôn: \[16\sqrt {13} .130\,\,000 \approx 7\,\,499\,\,546 \approx 7\,\,500\,\,000\] (đồng). Vậy d SAI.