Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x ( c m ) , chiều cao là h ( c m ) và thể tích là 4000 c m 3 . Tìm độ dài cạnh hình vuông

Thể tích khối hộp \(V = x.x.h = {x^2}h = 4000 \Rightarrow h = \frac{{4000}}{{{x^2}}}.\)

Để chiếc hộp làm ra ít tốn bìa các tông nhất khi và chỉ khi diện tích toàn phần của hộp là nhỏ nhất. Diện tích toàn phần của hộp (không nắp) \({S_{{\rm{tp}}}} = {S_{{\rm{day}}}} + {S_{{\rm{xung quanh}}}} = x.x + 4.hx = {x^2} + 4hx\)

\( = {x^2} + 4x.\frac{{4000}}{{{x^2}}} = {x^2} + \frac{{16000}}{x}\)

Xét hàm \(f\left( x \right) = {x^2} + \frac{{16000}}{x}\) với \(x > 0\) có \(f'\left( x \right) = 2x - \frac{{16000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow 2x - \frac{{16000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 20\).

_{Bảng biến thiên:}

Vậy độ dài cạnh hình vuông \(x = 20\)cm thì chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất.

Đáp án: 20.