Một hộp có chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và n viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Biết xác suất để trong 3 viên bi lấy được có đủ ba màu là 45/182 Tính xác suất P để trong 3 vi

Phương pháp giải

Lời giải

Theo bài cho, tổng số viên bi có trong hộp là: n + 8 (n ∈ N*).

Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Số kết quả có thể xảy ra là: \(n(\Omega ) = C_{n + 8}^3\).

Gọi \(A\) là biến cố: "3 viên bi lấy được có đủ ba màu". Số kết quả thuận lợi cho \(A\) là:

\(n(A) = C_5^1.C_3^1.C_n^1 = 15n{\rm{. }}\)

\( \Rightarrow \) Xác suất để trong 3 viên bi lấy được có đủ ba màu là:

\(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{15n}}{{C_{n + 8}^3}} = \frac{{90n}}{{(n + 6)(n + 7)(n + 8)}}\)

Theo bài, ta có: \(P(A) = \frac{{45}}{{182}}\) nên ta được phương trình:

\(\frac{{90n}}{{(n + 6)(n + 7)(n + 8)}} = \frac{{45}}{{182}} \Leftrightarrow 364n = (n + 6)(n + 7)(n + 8)\)

\( \Leftrightarrow {n^3} + 21{n^2} - 218n + 336 = 0.\)

Giải phương trình trên với điều kiện \(n\) là số nguyên dương, ta được \(n = 6\).

Do đó, trong hộp có tất cả 14 viên bi và \(n(\Omega ) = C_{14}^3\).

Gọi \(B\) là biến cố: "3 viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ". Suy ra, \(\bar B\) là biến cố: "3 viên bi lấy được đều là bi đỏ". Số kết quả thuận lợi cho \(\bar B\) là: \(n(\bar B) = C_5^3\).

Khi đó, xác suất \(P\) để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ là:

\(P = P(B) = 1 - P(\bar B) = 1 - \frac{{n(\bar B)}}{{n(\Omega )}} = 1 - \frac{{C_5^3}}{{C_{14}^3}} = \frac{{177}}{{182}}\).

 Chọn B