Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được x mét vải lụa (1 < x < 18). Tổng chi phí sản xuất x mét vải lụa được tính bằng nghìn đồng và cho bởi hàm chi phí

Hàm doanh thu khi bán \(x\) mét vải lụa với giá 220 nghìn đồng/mét là: \(R\left( x \right) = 220x\).

Hàm lợi nhuận thu được là hiệu giữa doanh thu và chi phí sản xuất:

\(L\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = 220x - \left( {{x^3} - 3{x^2} - 20x + 500} \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500\).

Xét hàm \(L\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;18} \right]\). Ta tính đạo hàm: \(L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x + 240\).

Giải phương trình \(L'\left( x \right) = 0\): \( - 3\left( {{x^2} - 2x - 80} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 10} \right)\left( {x + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10\quad \left( { \in \left[ {1;18} \right]} \right)}\\{x = - 8\quad \left( {{\rm{loai}}} \right)}\end{array}} \right.\).

Ta tính giá trị của hàm lợi nhuận tại các điểm đầu mút và điểm tới hạn:

\(L\left( 1 \right) = - {1^3} + 3 \cdot {1^2} + 240 \cdot 1 - 500 = - 258\);

\(L\left( {10} \right) = - {10^3} + 3 \cdot {10^2} + 240 \cdot 10 - 500 = - 1000 + 300 + 2400 - 500 = 1200\);

\(L\left( {18} \right) = - {18^3} + 3 \cdot {18^2} + 240 \cdot 18 - 500 = - 5832 + 972 + 4320 - 500 = - 1040\).

Vậy lợi nhuận tối đa mà hộ dệt thu được mỗi ngày là \(1200\) nghìn đồng (khi sản xuất và bán ra 10 mét vải).

Kết quả: 1200.