Một hộ kinh doanh sản xuất hai loại sản phẩm, gồm sản phẩm thường và sản phẩm cao cấp. Mỗi sản phẩm thực hiện hai công đoạn là lắp ráp và hoàn thiện, có tối đa 12 giờ cho mỗi công đoạn.

Gọi \(x\) là số sản phẩm thường và \(y\) là số sản phẩm cao cấp được sản xuất trong một ngày (\(x \in \mathbb{N},y \in \mathbb{N}\)).

Dựa vào các điều kiện giới hạn công suất, ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y \le 12}\\{2x + y \le 12}\\{x + y \le 7}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\).

Lợi nhuận là: \(L\left( {x;y} \right) = 2x + 3y\) (triệu đồng).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác \(OABCD\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {6;0} \right)\), \(B\left( {5;2} \right)\), \(C\left( {2;5} \right)\), \(D\left( {0;6} \right)\).

Tính giá trị lợi nhuận \(L\left( {x;y} \right)\) tại năm đỉnh này:

Tại \(O\left( {0;0} \right) \Rightarrow L = 0\).

Tại \(A\left( {6;0} \right) \Rightarrow L = 2 \cdot 6 + 0 = 12\).

Tại \(B\left( {5;2} \right) \Rightarrow L = 2 \cdot 5 + 3 \cdot 2 = 16\).

Tại \(C\left( {2;5} \right) \Rightarrow L = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 = 19\).

Tại \(D\left( {0;6} \right) \Rightarrow L = 3 \cdot 6 = 18\).

So sánh các giá trị, ta thấy lợi nhuận lớn nhất đạt được là \(19\) triệu đồng tại \(x = 2,y = 5\).

Vậy mỗi ngày hộ kinh doanh thu được lợi nhuận nhiều nhất là \(19\) triệu đồng.