Một hình vuông C1 cạnh bằng 8. Chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông C2 (như hình vẽ bên dưới). Tiếp tục như thế ta được
20/22
Một hình vuông \({C_1}\) cạnh bằng \(8\). Chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông \({C_2}\) (như hình vẽ bên dưới). Tiếp tục như thế ta được dãy các hình vuông \({C_1},{C_2},...,{C_n},...\) Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn. Gọi \({S_i}\) là diện tích của các hình vuông \({C_i}(i = 1,2,...)\). Tính tổng diện tích \(S\) của tất cả các hình vuông \({C_1},{C_2},...,{C_n},...\)
Lời giải
\({S_1} = {8^2} = 64,{S_2} = {2^2} + {6^2} = 40,{S_3} = {\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{3\sqrt {10} }}{2}} \right)^2} = 25,...\)
Vậy tổng diện tích \(S\) của tất cả các hình vuông \({C_1},{C_2},...,{C_n},...\)là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng \(64\) và công bội \(q = \frac{5}{8}\).
\( \Rightarrow S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{64}}{{1 - \frac{5}{8}}} = \frac{{512}}{3}\).