Một hình chóp tứ giác đều S . A B C D có thể tích bằng 200 c m 3 . Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của A B , B C , C D , D A . Biết rằng S O là đường cao của hai hình chóp

Đáp án: \(100\)

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(ABCD\) là hình vuông. Do đó, \(AB = BC = CD = DA.\)

Vì \(M,\;\,N,\;\,P,\;\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\;\,BC,\;\,CD,\;\,DA\) nên

\(MA = MB = NB = NC = PC = DP = QD = QA = \frac{1}{2}CB.\)

Vì \(\Delta AMQ = \Delta BMN = \Delta CPN = \Delta DPQ\;\;\left( {cgv - cgv} \right)\) nên \({S_{\Delta AMQ}} = {S_{\Delta BMN}} = {S_{\Delta CPN}} = {S_{\Delta DPQ}}.\)

Do đó: \({S_{MNPQ}} = {S_{ABCD}} - 4{S_{\Delta MNB}} = C{B^2} - 4 \cdot \frac{1}{2}MB \cdot NB = C{B^2} - 2{\left( {\frac{1}{2}CB} \right)^2} = \frac{1}{2}C{B^2} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}.\)

Mà hai hình chóp \(S.ABCD\)và \(S.MNPQ\) có cùng chiều cao \(SO.\)

Do đó, \({V_{S.MNPQ}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot 200 = 100\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Vậy thể tích của hình chóp \(S.MNPQ\) bằng \(100\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\)