Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R. a) Chứng minh rằng thể tích của khối chóp tương ứng và

a)

Xét tam giác vuông SHN, ta có: HN = SH.cotα = xcotα.

MN = 2HN = 2xcotα.

Thể tích khối chóp là V = \(\frac{1}{3}M{N^2}.SH = \frac{4}{3}{x^3}{\cot ^2}\alpha .\)

Xét tam giác SHN có \(\widehat {HSN}\) = 90° − α.

Trong tam giác IPH vuông tại P, có SI = \(\frac{{IP}}{{\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right)}} = \frac{R}{{\cos \alpha }}\).

Ta có: SH = HI + IS = R + \(\frac{R}{{\cos \alpha }}\)

⇒ cosα = \(\frac{R}{{x - R}}\). Suy ra sin²α = 1 – cos²α = 1 − \(\frac{{{R^2}}}{{{{\left( {x - R} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{{x^2} - 2Rx}}{{{{\left( {x - R} \right)}^2}}}\);

cot²α = \(\frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{R^2}}}{{x\left( {x - 2R} \right)}}\).

Từ đó ta được V = \(\frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}\).

b) Xét hàm số f(x) = \(\frac{{4{R^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2R} \right)}}\) với x > 2R.

Ta có: f'(x) = \(\frac{{12{R^2}{x^2} - 48{R^3}x}}{{9{{\left( {x - 2R} \right)}^2}}} = \frac{{12{R^2}x\left( {x - 4R} \right)}}{{9{{\left( {x - 2R} \right)}^2}}}\);

           f'(x) = 0 ⇔\(\frac{{12{R^2}x\left( {x - 4R} \right)}}{{9{{\left( {x - 2R} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ x = 4R.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x > 2R} V = \frac{{32}}{3}{R^3}\) khi x = 4R.