Một giếng dầu ngoài khơi được đặt ở vị trí
15/17
Một giếng dầu ngoài khơi được đặt ở vị trí A cách bờ biển 3 km, B là vị trí trên bờ biển gần giếng dầu nhất. Nhà máy lọc dầu được đặt ở vị trí C trên bờ biển, cách vị trí B một khoảng 4 km (Hình 9). Người ta dự định lắp đặt đường ống dẫn dầu gồm hai đoạn thẳng AD và DC (D là một vị trí nằm giữa B và C). Biết rằng mỗi mét đường ống đặt dưới biển có chi phí lắp đặt cao gấp đôi so với mỗi mét đường ống đặt trên bờ. Vị trí của D như thế nào để giảm thiểu chi phí lắp đặt nhất?
Đặt BD = x (km, 0 ≤ x ≤ 4).
Ta có DC = 4 – x (km).
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ABD, ta có:
AD = 
= 
(km).
Giả sử chi phí lắp đặt mỗi mét đường ống dẫn dầu trên bờ là a (đồng, a > 0).
Khi đó chi phí lắp đặt mỗi mét đường ống dẫn dầu đặt dưới biển là 2a (đồng).
Tổng chi phí lắp đặt đường ống là
C = 2a + a(4 – x) = 2a + 4a – ax (đồng).
Xét hàm số f(x) = 2a + 4a – ax với x ∈ [0; 4] và a > 0.
Ta có f'(x) = 
;
f'(x) = 0 
⇔ x2 + 9 = 4x2 ⇔ 3x2 = 9 ⇔ x2 = 3 ⇔ x = 
∈ [0; 4].
Ta có f(0) = 10a; 
; f(4) = 10a.
Do đó, 
(do a > 0) tại x = .
Vậy cần đặt vị trí D nằm giữa B và C sao cho D cách B một khoảng bằng km để giảm thiểu chi phí lắp đặt nhất.