Một gia đình muốn xây một bể chứa nước dạng hình hộp với chiều dài x (m), chiều rộng x (m) và chiều cao h(m)

Thể tích của hình hộp đó là: \[{x^2}h = 4{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\] suy ra \[h = \frac{4}{{{x^2}}}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Diện tích hai mặt đáy của bể là \[2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].

Diện tích bốn mặt bên của bể là \[8x.h{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].

Số tiền gia đình đó phải trả khi xây hai mặt đáy là: \[2{x^2}.0,5 = {x^2}\] (triệu đồng).

Số tiền gia đình đó phải trả khi xây bốn mặt bên của bể là

\[8xh.1 = 8xh\] (triệu đồng).

Do đó, số tiền phải trả khi làm bể là: \[{x^2} + 8xh\] (triệu đồng).

Để chi phí xây bể nước là tối thiểu thì \[{x^2} + 8xh\] đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: \[{x^2} + 8xh = {x^2} + 8\left( {x.\frac{4}{{{x^2}}}} \right) = {x^2} + \frac{{32}}{x} = {x^2} + \frac{{16}}{x} + \frac{{16}}{x}\].

Vì \[x > 0\] nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\[{x^2} + \frac{{16}}{x} + \frac{{16}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{x.\frac{{16}}{x}.\frac{{16}}{x}}}\] hay \[{x^2} + \frac{{16}}{x} + \frac{{16}}{x} \ge 3.4\sqrt[3]{4}\]

Do đó, \[{x^2} + 8xh \ge 12\sqrt[3]{4} \approx 19,05\].

Dấu “=” xảy ra khi \[{x^2} = \frac{{16}}{x}\] hay \[x = 2\sqrt[3]{2}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy chi phí tối thiểu để gia đình đó xây bể nước là khoảng \[19,05\] triệu đồng.