Một đường hầm hiện đại được thiết kế với mặt đáy là hình thang ACDF vuông tại A và C (AF//CD). Xét một thiết diện bất kì của đường hầm vuông góc với AC là một hình phẳng giới hạn

Đáp án: \(1167\).

Xét miền phẳng \(\left( D \right)\) giới hạn bởi parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) như hình vẽ với \(BE = BG,SH = 2HE\)

Từ đồ thị ta có \(a < 0,b > 0,c > 0\).

Đặt \(BE = BG = d\left( {d > 0} \right) \Rightarrow E\left( {d;0} \right),G\left( {0;d} \right)\)

\(\left( P \right)\) đi qua \(G,E\) Þ \(\left\{ \begin{array}{l}c = d\\a.{d^2} + b.d + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = d\\a.{d^2} + b.d + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = d}&{\left( 1 \right)}\\{a.d + b + 1 = 0}&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Ta có \(H\left( { - \frac{b}{{2a}};0} \right) \Rightarrow HE = d + \frac{b}{{2a}} \Rightarrow SH = 2HE = 2d + \frac{b}{a}\)

Lại có \(SH =  - \frac{\Delta }{{4a}} =  - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} =  - \frac{{{b^2} - 4ad}}{{4a}} =  - \frac{{{b^2}}}{{4a}} + d\)

Þ \( - \frac{{{b^2}}}{{4a}} + d = 2d + \frac{b}{a} \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}{c}}{{b^2} + 4b + 4ad = 0}&{\left( 3 \right)}\end{array}\)

Từ (2) Þ \(ad + b =  - 1\), thế vào (3), ta được \({b^2} - 4 = 0 \Rightarrow b = 2\) (vì \(b > 0\))

Þ \(a = \frac{{ - b - 1}}{d} =  - \frac{3}{d}\)

Þ \(\left( P \right):y =  - \frac{3}{d}{x^2} + 2x + d\)

Diện tích miền \(\left( D \right)\) là \(S\left( D \right) = \int\limits_0^d {\left( { - \frac{3}{d}{x^2} + 2x + d} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{{ - {x^3}}}{d} + {x^2} + dx} \right)} \right|_0^d = {d^2}\)

Dựng trục \(Ox\) như hình vẽ

Đặt \(CB = OB = x\left( {0 \le x \le 20} \right)\)

Xét hình thang \(ACDF\).

Gọi \(I = AC \cap FD\)

Vì \(AF = 2CD\) Þ \(C\) là trung điểm của \(IA\)

Ta có \(\frac{{BE}}{{AF}} = \frac{{IB}}{{IA}} \Rightarrow BE = \frac{{AF.IB}}{{IA}} = \frac{{10.\left( {20 + x} \right)}}{{40}} = \frac{{20 + x}}{4}\)

Áp dụng kết quả trên với \(d = BE = \frac{{20 + x}}{4}\), ta có diện tích thiết diện \[BESG\] là

\[S\left( x \right) = B{E^2} = {\left( {\frac{{20 + x}}{4}} \right)^2}\].

Thể tích đường hầm là \(V = \int\limits_0^{20} {{{\left( {\frac{{20 + x}}{4}} \right)}^2}dx}  = \frac{{3500}}{3} \approx 1167\left( {{m^3}} \right)\)

Cách khác:

Ta có \(\frac{{BE}}{{AF}} = \frac{{IB}}{{IA}} = \frac{{20 + x}}{{40}}\) Þ \(\frac{{{S_{BESG}}}}{{{S_{AFKM}}}} = {\left( {\frac{{20 + x}}{{40}}} \right)^2}\)

Giải tương tương tự cách trên với \(d = AF = 10\), ta có \({S_{AFKM}} = {10^2} = 100\)

Þ \({S_{BESG}} = 100.{\left( {\frac{{20 + x}}{{40}}} \right)^2} = {\left( {\frac{{20 + x}}{4}} \right)^2}\).

Thể tích đường hầm là \(V = \int\limits_0^{20} {{{\left( {\frac{{20 + x}}{4}} \right)}^2}dx}  = \frac{{3500}}{3} \approx 1167\left( {{m^3}} \right)\).