Một đơn vị thiết kế theo đơn đặt hàng làm một nhà vườn ngoài trời để trồng rau
16/22
Một đơn vị thiết kế theo đơn đặt hàng làm một nhà vườn ngoài trời để trồng rau. Người thiết kế đã vẽ mô hình nhà vườn trong hệ trục tọa độ \(Dxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) như hình vẽ, với các cột nhà là các đoạn thẳng \(AE,\,BF,\,CG\) và \(DH\); phần mái là tứ giác \[EFGH\] và hình vuông \[ABCD\] nằm trên mặt đất. Biết độ dài các đoạn thẳng \[AB = 20\,{\rm{m}}\], \[DH = 4\,{\rm{m}}\], \[AE = BF = 3\,{\rm{m}}\].
a)Tọa độ điểm\(B\left( {20;20;0} \right)\) và\(H\left( {0\,;0\,;4} \right)\).
b)Đường thẳng \(EH\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 20t\\y = 0\\z = 4 + t\end{array} \right.,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
c) Mái nhà hợp với mặt đất một góc khoảng \(2,86^\circ \).
d) Khách hàng đặt một camera ở vị trí \(L\) trên cột \(DH\) và cách mặt đất \(8\,{\rm{m}}\). Một vật ở vị trí \(M\left( {a\,;b\,;c} \right)\) thỏa mãn \(MA = MB = MC = MD = 2\sqrt {66} \,{\rm{m}}\) thì cách camera \(10\sqrt 2 \,{\rm{m}}\).
a) Đúng. Ta có \[ABCD\] là hình vuông nên \[BC = AB = 20\,{\rm{m}}\], do đó \(B\left( {20;20;0} \right)\).
Vì \[DH = 4\,{\rm{m}}\] nên \(H\left( {0\,;0\,;4} \right)\).
b) Sai. Vì \[AD = AB = 20\,{\rm{m}}\] và\[AE = 3\,{\rm{m}}\] nên \(E\left( {20\,;0\,;3} \right)\), suy ra \(\overrightarrow {HE} = \left( {20\,;0\,; - 1} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(EH\).
Khi đó, đường thẳng \(EH\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 20t\\y = 0\\z = 4 - t\end{array} \right.,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
c) Đúng. Ta có \(F\left( {20\,;20\,;3} \right)\) và \(\overrightarrow {EF} = \left( {0\,;20\,;0} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {EF} ;\overrightarrow {HE} } \right] = \left( { - 20;0; - 400} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {EFGH} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow k = \left( {0\,;0\,;1} \right)\]. Khi đó:
\[\cos \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {EFGH} \right)} \right) = \frac{{\left| {400} \right|}}{{\sqrt {{{20}^2} + {{400}^2}} }} = \frac{{400}}{{20\sqrt {401} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {401} }} \Rightarrow \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {EFGH} \right)} \right) \approx 2,86^\circ \].
Vậy mái nhà hợp với mặt đất một góc khoảng \(2,86^\circ \).
d) Đúng.
Gọi \(I\) là tâm hình vuông \[ABCD\] và \(MA = MB = MC = MD = 2\sqrt {66} \,{\rm{m}}\).
Suy ra \[M.ABCD\] là hình chóp đều nên \[MI \bot \left( {ABCD} \right)\].
Ta có \[DB = 20\sqrt 2 \left( {\rm{m}} \right) \Rightarrow ID = 10\sqrt 2 \left( {\rm{m}} \right)\].
Xét tam giác \[MID\]vuông tại \(I\): \(MI = \sqrt {M{D^2} - I{D^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt {66} } \right)}^2} - {{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2}} = 8\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Vì \[MI{\rm{//}}DL,\,MI = DL = 8\,{\rm{m}}\].
Do đó \[DIML\] là hình bình hành nên \[ML = ID = 10\sqrt 2 \,{\rm{m}}\].