Một đơn vị thiết kế theo đơn đặt hàng làm một nhà vườn ngoài trời để trồng rau. Người thiết kế đã vẽ mô hình nhà vườn trong hệ trục tọa độ Dxyz như hình vẽ, với các cột nhà là các đoạn thẳng
8/11
Một đơn vị thiết kế theo đơn đặt hàng làm một nhà vườn ngoài trời để trồng rau. Người thiết kế đã vẽ mô hình nhà vườn trong hệ trục tọa độ Dxyz như hình vẽ, với các cột nhà là các đoạn thẳng AE,BF ,CG và DH; phần mái là tứ giác EFGH và hình vuông ABCD nằm trên mặt đất. Biết độ dài các đoạn thẳng \[AB = 20\,{\rm{m}}\], \[DH = 4\,{\rm{m}}\], \[AE = 3\,{\rm{m}}\] (mét được ký hiệu là m).
a) Tọa độ điểm \(B\left( {20;20;0} \right)\) và \(H\left( {0\,;0\,;4} \right)\).
b) Đường thẳng \(EH\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 20t\\y = 0\\z = 4 + t\end{array} \right.,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
c) Mái nhà hợp với mặt đất một góc khoảng \(2,86^\circ \).
d) Khách hàng đặt một camera ở vị trí \(L\) trên cột \(DH\) và cách mặt đất \(8\,{\rm{m}}\). Một vật ở vị trí \(M\left( {a\,;b\,;c} \right)\) thỏa mãn \(MA = MB = MC = MD = 2\sqrt {66} \,{\rm{m}}\) thì cách camera \(10\sqrt 2 \,{\rm{m}}\).
a) Đúng. Theo bài ra ta có \(B\left( {20;20;0} \right)\) và \(H\left( {0\,;0\,;4} \right)\).
b) Sai. Vì \(E\left( {20\,;0\,;3} \right)\) và \(\overrightarrow {HE} \left( {20\,;0\,; - 1} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(EH\).
c) Đúng. Ta có \(F\left( {20\,;20\,;3} \right)\), \(\overrightarrow {EF} \left( {0\,;20\,;0} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow {EF} ;\overrightarrow {HE} } \right] = \left( { - 20;0; - 400} \right)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {EFGH} \right)\].
\[\left( {ABCD} \right)\] có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow k \left( {0\,;0\,;1} \right)\].
\[\cos \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {EFGH} \right)} \right) = \frac{{\left| {400} \right|}}{{\sqrt {{{20}^2} + {{400}^2}} }} = \frac{{400}}{{20\sqrt {401} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {401} }}\].
Vậy mái nhà hợp với mặt đất một góc khoảng \(2,86^\circ \).
d) Đúng.
Gọi \(I\) là tâm hình vuông \[ABCD\] và \(MA = MB = MC = MD = 2\sqrt {66} \,{\rm{m}}\).
Suy ra \[M.ABCD\] là hình chóp đều nên \[MI \bot \left( {ABCD} \right)\].
Ta có \[DB = 20\sqrt 2 \left( {\rm{m}} \right) \Rightarrow ID = 10\sqrt 2 \left( {\rm{m}} \right)\].
Xét tam giác \[MID\]vuông tại \(I\): \(MI = \sqrt {M{D^2} - I{D^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt {66} } \right)}^2} - {{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2}} = 8\,\left( {\rm{m}} \right)\).
Vì \[MI\,{\rm{//}}\,DL,\,MI = DL = 8\,{\rm{m}}\].
Do đó \[DIML\] là hình bình hành nên \[ML = ID = 10\sqrt 2 \,{\rm{m}}\].