Một đội thiếu niên khi xếp hàng 2; 3; 4; 5 đều thừa một người. Biết số đội viên trong khoảng 100 đến 150 người. Tính số đội viên thiếu niên của đội.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là số đội viên của đội \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*};\,\,100 < x < 150} \right)\).

Khi xếp hàng 2 đội viên thì thừa 1 đội viên nên \(x\) chia 2 dư 1, hay \(\left( {x - 1} \right)\,\, \vdots \,\,2\).

Khi xếp hàng 3 đội viên thì thừa 1 đội viên nên \(x\) chia 3 dư 1, hay \(\left( {x - 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\).

Khi xếp hàng 4 đội viên thì thừa 1 đội viên nên \(x\) chia 4 dư 1, hay \(\left( {x - 1} \right)\,\, \vdots \,\,4\).

Khi xếp hàng 5 đội viên thì thừa 1 đội viên nên \(x\) chia 5 dư 1, hay \(\left( {x - 1} \right)\,\, \vdots \,\,5\).

Do đó \[x-1 \in {\rm{BC}}\left( {2,\,\,3,\,\,4,\,\,5} \right)\].

Ta có: \[2 = 2;{\rm{ }}3 = 3;{\rm{ }}4 = {2^2};{\rm{ }}5 = 5\].

Do đó \({\rm{BCNN}}\left( {2,\,\,3,\,\,4,\,\,5} \right) = {2^2} \cdot 3 \cdot 5 = 60\) .

Suy ra \(x-1 \in {\rm{BC}}\left( {2,\,\,3,\,\,4,\,\,5} \right) = \left\{ {0;\,\,60;\,\,120;\,\,180;\,\,...} \right\}\).

Vì \[100 < x < 150\] nên \[99 < x-1 < 149\].

Do đó \[x-1 = 120\] nên \[x = 121\].

Vậy đội có 121 đội viên.