Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm đó

Khi sản xuất và bán hết x sản phẩm đó (0 < x ≤ 2000), lợi nhuận doanh nghiệp thu được là:

      h(x) = (2000x-x²)-(x²+1440x+50) – tx = -2x² + (560 – t)x – 50, với 0<x≤2000.

Xét hàm h(x) = − 2x² + (560 – t)x – 50, với 0 < x ≤ 2000.

Ta có: h(x)= − 4x + (560 – t), h'(x)=0\[ \Leftrightarrow x = \frac{{560 - t}}{4} \in (0;2000)\]

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có: \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2000} \right]} h(x) = h\left( {\frac{{560 - t}}{4}} \right)\] tại \[x = \frac{{560 - t}}{4}\]. Khi đó, số tiền thuế thu được từ doanh nghiệp là: \[k(t) = \left( {\frac{{560 - t}}{4}} \right).t\]

Ta có: \[k(t) = \left( {\frac{{560 - t}}{4}} \right).t = - \frac{1}{4}{(t - 280)^2} + 19600,\forall t \in (0;300)\]

Vì vậy, ta có: \[\mathop {\max }\limits_{\left( {1;300} \right)} k(t) = 19600\]tại t= 280. Khi đó, x = 70 (sản phẩm).

Vậy mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm sao cho nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất là t = 280. Khi đó, mức thuế phụ thu là 2 800 000 đồng/ sản phẩm, doanh nghiệp sản xuất và bán hết 70 sản phẩm.