Một doanh nghiệp dự định sản xuất 200 máy tính bảng dành cho học sinh. Nếu doanh nghiệp đó bán xmáy tính bảng (1 < x < 200, x thuộc N) thì giá bán cho mỗi máy

Tổng doanh thu khi bán \(x\) máy tính bảng: \(R\left( x \right) = x \cdot p\left( x \right) = x\left( {4000 - 10x} \right) = 4000x - 10{x^2}\).

Tổng chi phí để sản xuất \(x\) máy tính bảng:

\(C\left( x \right) = x \cdot c\left( x \right) = x\left( {{x^2} - 70x + 400 + \frac{{1000}}{x}} \right) = {x^3} - 70{x^2} + 400x + 1000\).

Hàm lợi nhuận \(L\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\):

\(L\left( x \right) = \left( {4000x - 10{x^2}} \right) - \left( {{x^3} - 70{x^2} + 400x + 1000} \right) = - {x^3} + 60{x^2} + 3600x - 1000\).

Xét đạo hàm của hàm lợi nhuận: \(L'\left( x \right) = - 3{x^2} + 120x + 3600\).

Cho \(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 120x + 3600 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 40x - 1200 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 60\quad \left( {{\rm{th/m\~a n\;}}1 \le x \le 200} \right)}\\{x = - 20\quad \left( {{\rm{loai}}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\).

Vì hệ số bậc hai của đạo hàm âm nên tại \(x = 60\), hàm số đạt cực đại, đồng thời cũng là giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận trên đoạn xét.

Vậy doanh nghiệp cần bán 60 máy tính bảng.

Đáp án: 60.