Một đoàn tàu đang chạy thẳng đều với tốc độ 35m/s thì phát hiện biển báo phía trước có một cây cầu yếu. Bắt đầu từ vị trí cách đầu cầu 400m, lái tàu hãm phanh làm vận tốc của tàu giảm dần the

Tại thời điểm\(\left( {t = 0} \right)\)vận tốc của tàu là \(35\)m/s: \(v\left( 0 \right) = - a.{\left( 0 \right)^2} + b = 35 \Rightarrow b = 35\)
Vậy hàm vận tốc có dạng:\(v\left( t \right) = - a{t^2} + 35\)
Gọi \(T\)(giây) là thời gian kể từ lúc hãm phanh đến khi mũi tàu chạm đầu cầu
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
Vận tốc tại \(T\) là: \(v\left( T \right) = - a{T^2} + 35 = 10 \Rightarrow a{T^2} = 25 \Rightarrow a = \frac{{25}}{{{T^2}}}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Quãng đường đi được sau thời gian \(T:\)
\(S\left( T \right) = \int\limits_0^T {\left( { - a{t^2} + 35} \right){\rm{d}}t} = \left. {\left( { - \frac{1}{3}a{t^3} + 35t} \right)} \right|_0^T = - \frac{1}{3}a{t^3} + 35T = 400\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 1 \right)\)vào \(\left( 2 \right)\)ta được: \( - \frac{1}{3} \cdot \frac{{25}}{{{T^2}}} \cdot {T^3} + 35T = 400 \Rightarrow T = 15\) suy ra \(a = \frac{{25}}{{{{15}^2}}} = \frac{1}{9}\)
Vậy hàm vận tốc là: \(v\left( t \right) = - \frac{1}{9}{t^2} + 35\)
Gọi \({t_1}\) là khoảng thời gian cần tìm, ta có phương trình quãng đường:
\[S\left( {{t_1}} \right) = \int\limits_0^{{t_1}} {\left( { - \frac{1}{9}{t^2} + 35} \right){\rm{d}}t} = 288 \Leftrightarrow \left. {\left( { - \frac{1}{{27}}{t^3} + 35t} \right)} \right|_0^{{t_1}} = 288 \Leftrightarrow t_1^3 - 945{t_1} + 7776 = 0 \Rightarrow {t_1} = 9\]
Gia tốc của đoàn tàu là:\(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = {\left( { - \frac{1}{9}{t^2} + 35} \right)^\prime } = - \frac{2}{9}t\)
Tại thời điểm \({t_1} = 9\) gia tốc thực tế là: \[a\left( 9 \right) = - \frac{2}{9} \cdot 9 = - 2\](m/\[{{\rm{s}}^2}\])
Độ lớn gia tốc lúc này là:\(\left| {a\left( 9 \right)} \right| = 2\) (m/\[{{\rm{s}}^2}\])