Một đồ chơi có dạng hình tứ diện đều làm bằng thủy tinh có cạnh bằng 10 cm . Bên trong đặt một đèn nhỏ. Đèn đặt trên đường nối từ đỉnh của tứ diện xuống tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác
20/22
Một đồ chơi có dạng hình tứ diện đều làm bằng thủy tinh có cạnh bằng \(10cm\). Bên trong đặt một đèn nhỏ. Đèn đặt trên đường nối từ đỉnh của tứ diện xuống tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và cách đỉnh một khoảng là \(\frac{{5\sqrt 6 }}{2}cm\). Đèn được nối bởi hai dây qua hai đỉnh của tứ diện như hình vẽ. Cường độ lực tổng hợp của hai dây tác dụng lên đèn là bao nhiêu?
Đáp án: \(\left| {\overrightarrow F } \right| = 5\sqrt 2 \) .
Gọi tứ diện là \(S.ABC\) và \(M,\,G,\,G'\) lần lượt là trung điểm của \(BC\), trọng tâm của \(\Delta ABC\)và vị trí đặt đèn.
\(S.ABC\) là tứ diện đều \( \Rightarrow \Delta ABC\) đều nên \(G\)là tâm của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).
\( \Rightarrow S,\,G',\,G\) thẳng hàng và \(SG' = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ sao cho \(M\left( {0;0;0} \right)\)
Có: \(AM = 5\sqrt 3 \), \(MG = \frac{1}{3}AM = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\),
\(AG = \frac{2}{3}AM = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\), \(SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = \frac{{10\sqrt 6 }}{3}\) .
Khi đó: \(S\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;\frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)\), \(A\left( {5\sqrt 3 ;0;0} \right)\), \(B\left( {0; - 5;0} \right)\), \(C\left( {0;5;0} \right)\)
\(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow G\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;0} \right)\)\(\)
\( \Rightarrow SG' = \frac{3}{4}SG\) \( \Rightarrow \overrightarrow {SG'} = \frac{3}{4}\overrightarrow {SG} \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} - {x_S} = \frac{3}{4}\left( {{x_G} - {x_S}} \right)\\{y_{G'}} - {y_S} = \frac{3}{4}\left( {{y_G} - {y_S}} \right)\\{z_{G'}} - {z_S} = \frac{3}{4}\left( {{z_G} - {z_S}} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\\{y_{G'}} = 0\\{x_{G'}} = \frac{{5\sqrt 6 }}{6}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow G'\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{3};0;\frac{{5\sqrt 6 }}{6}} \right)\).
\( \Rightarrow G'A = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\).
\(\cos \left( {\overrightarrow {AG'} ,\overrightarrow {SG'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {SG'} .\overrightarrow {AG'} }}{{\left| {\overrightarrow {SG'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AG'} } \right|}} = - \frac{1}{3}\).
Gọi \(\overrightarrow F ,\,\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} \) lần lượt là lực tổng hợp và lực của hai dây tác dụng lên đèn
Có \(\overrightarrow F = \overrightarrow {F{}_1} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AG'} + \overrightarrow {SG'} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {AG'} + \overrightarrow {SG'} } \right)}^2}} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {SG{'^2} + AG{'^2} + 2\overrightarrow {AG'} .\overrightarrow {SG'} } \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {SG{'^2} + AG{'^2} + 2AG'.SG'.\cos \left( {\overrightarrow {AG'} ,\overrightarrow {SG'} } \right)} \)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{5\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + 2.\frac{{5\sqrt 6 }}{2}.\frac{{5\sqrt 6 }}{2}.\left( { - \frac{1}{3}} \right)} \) \( = 5\sqrt 2 \).