Một cuộc thi có \(36\) bộ câu hỏi, trong đó có \(16\) bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên

Phần giải chi tiết

Xét các biến cố:

A: "Bạn Hạnh lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội";

B: "Bạn Phúc lấy được bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên".

Khi đó, \({\rm{P}}\left( A \right) = \frac{{20}}{{36}} = \frac{5}{9};{\rm{P}}\left( {\overline {A\,} } \right) = 1 - {\rm{P}}\left( A \right) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}\).

Nếu bạn Hạnh chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề xã hội thì sau đó còn 35 bộ câu hỏi, trong đó có 16 bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên, suy ra \({\rm{P}}\left( {B\mid A} \right) = \frac{{16}}{{35}}\).

Nếu bạn Hạnh chọn được một bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên thì sau đó còn 35 bộ câu hỏi, trong đó có 15 bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên, suy ra \({\rm{P}}\left( {B\mid \overline {A\,} } \right) = \frac{{15}}{{35}}\).

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất bạn Phúc lấy được bộ câu hỏi về chủ đề

tự nhiên là: \({\rm{P}}\left( B \right) = {\rm{P}}\left( A \right).{\rm{P}}\left( {B\mid A} \right) + {\rm{P}}\left( {\overline {A\,} } \right).{\rm{P}}\left( {B\mid \overline {A\,} } \right) = \frac{5}{9} \cdot \frac{{16}}{{35}} + \frac{4}{9} \cdot \frac{{15}}{{35}} = \frac{4}{9}\).

Suy ra \(a = 4,b = 9\) và \(100a - 99b =  - 491\).