Một công ty sữa muốn thiết kế hộp đựng sữa với thể tích hộp là \(1\,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^3},\) hộp được thiết kế bởi một trong hai mẫu sau với cùng một loại vật liệu:

TH1: Sản xuất theo mẫu 1 là hình hộp chữ nhật.

Gọi a, b, c lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật.

Khi đó, thể tích của khối hộp là \(V = abc = 1\,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}.\)

Chi phí để sản xuất theo mẫu 1 là \({T_1} = 10\,\,000 \cdot {S_{tp}} = 10\,\,000 \cdot 2 \cdot \left( {ab + bc + ca} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có \(ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {abc} \right)}^2}}} = 3.\)

Suy ra số tiền tối thiểu để sản xuất là \({T_{1\min }} = 60\,\,000\) đồng.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(a = b = c = 1\,\,{\rm{dm}}.\)

TH2: Sản xuất theo mẫu 2 là hình trụ.

Gọi \[R,\,\,h\] lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

Khi đó, thể tích của khối trụ là: \(V = \pi {R^2}h = 1\,\,\left( {d{m^3}} \right) \Leftrightarrow h = \frac{1}{{\pi {R^2}}}.\)

Chi phi để sản xuất theo mẫu 2 là: \(10\,\,000 \cdot \left( {2,4\pi {R^2} + \frac{2}{R}} \right) = 10\,\,000 \cdot \left( {2,4\pi {R^2} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R}} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có \(2,4\pi {R^2} + \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \ge 3\sqrt[3]{{2,4\pi }}.\)

Suy ra số tiền tối thiểu để sản xuất là \({T_{2\min }} \approx 59\,\,000\) (đồng).

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(2,4\pi {R^2} = \frac{1}{R} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{1}{{2,4\pi }}}}.\)

Vậy sản xuất theo mẫu 2 thì chi phí nhỏ nhất là \[59\,\,000\] đồng.

Đáp án: \[{\bf{59}}\,\,{\bf{000}}\].