Một công ty nông sản có công suất chế biến không quá 180 tấn nguyên liệu một tháng. Nếu công ty chế biến x tấn nguyên liệu trong một tháng (1 ≤ x ≤ 180) thì chi phí sản xuất và doanh thu lần

Lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí: \(P(x) = R(x) - C(x)\).

Ta có: \(R(x) = 90x\),

\(C(x) = 0,002{x^3} + 30x + 20\).

Suy ra: \(P(x) = 90x - (0,002{x^3} + 30x + 20)\)

\(P(x) =  - 0,002{x^3} + 60x - 20\).

Với \(1 \le x \le 180\).

Tính đạo hàm: \(P'(x) =  - 0,006{x^2} + 60\).

Cho \(P'(x) = 0\): \( - 0,006{x^2} + 60 = 0\)

\(0,006{x^2} = 60\)

\({x^2} = 10000\)

\(x = 100\).

Tính lợi nhuận tại \(x = 100\): \(P(100) =  - 0,002 \cdot {100^3} + 60 \cdot 100 - 20\)

\(P(100) =  - 2000 + 6000 - 20 = 3980\).

Vậy lợi nhuận lớn nhất là \(3980\) triệu đồng.

Đáp án: \(3980\) triệu đồng.