Một công ty logistics đang thử nghiệm hệ thống giao hàng tự động bằng máy bay không người lái (drone)
18/22
Một công ty logistics đang thử nghiệm hệ thống giao hàng tự động bằng máy bay không người lái (drone). Trong không gian \[Oxyz\], mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với 1 mét trên thực tế, mặt ngoài của một tòa nhà cao tầng được xem là một phần của mặt phẳng \[\left( P \right)\] thẳng đứng, đi qua hai điểm \(C\left( {10;50;0} \right)\) và \(D\left( {30;10;0} \right)\) trên mặt đất (mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\)) như hình vẽ. Vị trí giao hàng là điểm B nằm trên mặt phẳng \[\left( P \right)\]. Drone bắt đầu bay từ kho hàng tại gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\). Ban đầu, nó bay theo một đường thẳng đến vị trí \(A\left( {30;40;120} \right).\) Từ vị trí \[A\], drone thay đổi đường bay, di chuyển theo phương vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right)\] đến vị trí giao hàng \[B\]. Khoảng cách từ \(O\) đến \(B\) bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Ta có \[\overrightarrow {CD} = \left( {20; - 40;0} \right) = 20\overrightarrow u \] với \[\overrightarrow u = \left( {1; - 2;0} \right)\].
\[\left( P \right)\] là mặt phẳng thẳng đứng qua \[C\] và \[D\] nên nhận vectơ \[\overrightarrow u = \left( {1; - 2;0} \right)\] và \[\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\] làm cặp vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của \[\left( P \right)\] là \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow u } \right] = \left( {2;1;0} \right)\].
Ta có \[\left( P \right):2\left( {x - 10} \right) + 1\left( {y - 50} \right) + 0\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 70 = 0\].
Đường thẳng \[AB\]vuông góc với \[\left( P \right)\] nên nhận vectơ pháp tuyến của \[\left( P \right)\] làm vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_{AB}}} = \left( {2;1;0} \right)\]. Phương trình đường thẳng \[AB\]: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 30 + 2t\\y = 40 + t\\z = 120\end{array} \right.\].
\[B\] là giao điểm của đường thẳng \[AB\]và mặt phẳng \[\left( P \right)\] nên ta có
\[2\left( {30 + 2t} \right) + 40 + t - 70 = 0 \Leftrightarrow 5t = - 30 \Leftrightarrow t = - 6\]
\[ \Rightarrow B\left( {18;34;120} \right) \Rightarrow OB = \sqrt {{{18}^2} + {{34}^2} + {{120}^2}} \approx 126\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
Đán án: 126.