Một con thuyền rời bến O(0, 0) trên một bờ sông, luôn đi với vận tốc không đổi 20 dặm/giờ hướng về bến A (1000, 0) (phía đông của O); đồng thời nước sông chảy ngược lên phía bắc

19/22

Một con thuyền rời bến $O(0,0)$ trên một bờ sông, luôn đi với vận tốc không đổi 20 dặm/giờ hướng về bến $A(1000,0)$ (phía đông của $O$); đồng thời nước sông chảy ngược lên phía bắc với tốc độ 5 dặm/giờ. Người ta cho rằng đường đi của thuyền là $y = 500\left[ {{{\left( {\frac{{1000 - x}}{{1000}}} \right)}^{3/4}} - {{\left( {\frac{{1000 - x}}{{1000}}} \right)}^{5/4}}} \right],\quad 0 \le x \le 1000$Tìm độ lệch bắc lớn nhất mà thuyền đạt được trong suốt hành trình.

$Một con thuyền rời bến $O(0,0)$ trên một bờ sông, luô (ảnh 1)$

____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đặt $u = \frac{{1000 - x}}{{1000}},\quad {\rm{ thì}}0 \le u \le 1,\quad x = 1000(1 - u).$

Khi đó $y(u) = 500\left( {{u^{3/4}} - {u^{5/4}}} \right).$

Tính đạo hàm theo $u$: $500\left( {\frac{3}{4}{u^{ - 1/4}} - \frac{5}{4}{u^{1/4}}} \right) = 500 \cdot \frac{1}{4}{u^{ - 1/4}}(3 - 5u)$

Vì ${u^{ - 1/4}} > 0$ trên $(0,1]$, ta chỉ cần giải $3 - 5u = 0 \Rightarrow u = \frac{3}{5} = 0,6$

Lập bảng xét dấu ta có

$Một con thuyền rời bến $O(0,0)$ trên một bờ sông, luô (ảnh 2)$

Suy ra $y(u)$ đạt điểm cực đại tại $u = 0,6$

Chuyển lại thành $x$ và tính

- Tương ứng $x = 1000(1 - u) = 1000 \cdot 0,4 = 400$.

- Độ lệch bắc cực đại là

Do đó giá trị tại $x = 400$

Kết luận:

Trong suốt hành trình, con thuyền bị dòng nước đẩy lệch về phía bắc cực đại khoảng

76,6 (đơn vị chiều dài) khi nó đã đi được $x = 400$ (đơn vị tương ứng) về phía đông.