Một con thuyền rời bến O ( 0 , 0 ) trên một bờ sông, luôn đi với vận tốc không đổi 20 dặm/giờ hướng về bến A ( 1000 , 0 ) (phía đông của O ); đồng thời nước sông chảy ngược lên phía bắc
19/22
Một con thuyền rời bến \(O(0,0)\) trên một bờ sông, luôn đi với vận tốc không đổi 20 dặm/giờ hướng về bến \(A(1000,0)\) (phía đông của \(O\)); đồng thời nước sông chảy ngược lên phía bắc với tốc độ 5 dặm/giờ. Người ta cho rằng đường đi của thuyền là \(y = 500\left[ {{{\left( {\frac{{1000 - x}}{{1000}}} \right)}^{3/4}} - {{\left( {\frac{{1000 - x}}{{1000}}} \right)}^{5/4}}} \right],\quad 0 \le x \le 1000\)Tìm độ lệch bắc lớn nhất mà thuyền đạt được trong suốt hành trình.
Đặt \(u = \frac{{1000 - x}}{{1000}},\quad {\rm{ th\`i }}0 \le u \le 1,\quad x = 1000(1 - u).\)
Khi đó \(y(u) = 500\left( {{u^{3/4}} - {u^{5/4}}} \right).\)
Tính đạo hàm theo \(u\): \(500\left( {\frac{3}{4}{u^{ - 1/4}} - \frac{5}{4}{u^{1/4}}} \right) = 500 \cdot \frac{1}{4}{u^{ - 1/4}}(3 - 5u)\)
Vì \({u^{ - 1/4}} > 0\) trên \((0,1]\), ta chỉ cần giải \(3 - 5u = 0 \Rightarrow u = \frac{3}{5} = 0,6\)
Lập bảng xét dấu ta có
Suy ra \(y(u)\) đạt điểm cực đại tại \(u = 0,6\)
Chuyển lại thành \(x\) và tính
- Tương ứng \(x = 1000(1 - u) = 1000 \cdot 0,4 = 400\).
- Độ lệch bắc cực đại là
Do đó giá trị tại \(x = 400\)
Kết luận:
Trong suốt hành trình, con thuyền bị dòng nước đẩy lệch về phía bắc cực đại khoảng
76,6 (đơn vị chiều dài) khi nó đã đi được \(x = 400\) (đơn vị tương ứng) về phía đông.