Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 100 km. Vận tốc dòng nước là 5 (km/h). Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h), ( v > 5 ) thì năng lượng tiêu hao của cá

49/55

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là \(100\)km. Vận tốc dòng nước là \(5\)(km/h). Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là \(v\)(km/h), \(\left( {v > 5} \right)\) thì năng lượng tiêu hao của cá trong \(t\) giờ được cho bởi công thức \(E\left( v \right) = c.{v^3}.t\), trong đó \(c\) là hằng số dương, \(E\) được tính bằng Jun. Biết rằng vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng \(\left( {a\,;\,b} \right)\) thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Hãy tính giá trị lớn nhất của \(b - a\) (kết quả làm tròn tới hàng phần mười).

Giải thích

Khi bơi ngược dòng vận tốc của cá là \(v - 5\)(km/h).

Thời gian để cá vượt khoảng cách \(100\)km là \(t = \frac{{100}}{{v - 5}}\,\left( {v > 5} \right)\).

Năng lượng tiêu hao của cá khi vượt khoảng cách \(100\)km là \(E\left( v \right) = c.{v^3}.\frac{{100}}{{v - 5}} = 100c.\frac{{{v^3}}}{{v - 5}}\).

Xét hàm số \(y = E\left( v \right)\) ta có \(E'\left( v \right) = 100c.\frac{{3{v^2}\left( {v - 5} \right) - {v^3}}}{{{{\left( {v - 5} \right)}^2}}} = 100c.\frac{{{v^2}\left( {2v - 15} \right)}}{{{{\left( {v - 5} \right)}^2}}}\).

Giải phương trình \(E'\left( v \right) = 0 \Leftrightarrow v = 7,5\)(do \(v > 5\)). Ta có bảng biến thiên

Vậy vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên thuộc khoảng \(\left( {5\,;\,7,5} \right)\) thì năng lượng tiêu hao của cá giảm. Khi đó giá trị lớn nhất của \(b - a\) là 2,5.

Đáp án: 2,5.