Một cốc chứa 30 ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 8 mg/ml được trộn vào cốc

a) Tống khối lượng \({\rm{KOH}}\) sau khi trộn là: \(30.100 + 8.{\rm{x}} = 3000 + 8{\rm{x}}({\rm{mg}})\).

Tống thế tích dung dịch sau khi trộn là: \(30 + {\rm{x}}({\rm{ml}})\).

Nồng độ \({\rm{KOH}}\) trong cốc sau khi trộn là \(C(x) = \frac{{3000 + 8x}}{{30 + x}}({\rm{mg}}/{\rm{ml}})\).

b) \(C(x) = \frac{{3000 + 8x}}{{30 + x}},x \ge 0\)

Tập xác định của hàm số là \(D = [0; + \infty )\).

Sự biến thiên

Có \({C^\prime }(x) = \frac{{8(30 + x) - (3000 + 8x)}}{{{{(30 + x)}^2}}} = \frac{{ - 2760}}{{{{(30 + x)}^2}}} < 0\) với mọi \({x^3}0\).

Hàm số luôn nghịch biến trên \([0; + \infty )\).

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } C(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3000 + 8x}}{{30 + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{{3000}}{x} + 8}}{{\frac{{30}}{x} + 1}} = 8\)

Do đó \(y = 8\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phần bên phải trục \({\rm{Oy}}\) ).

Bảng biến thiên

Đồ thị

Hàm số giao với trục \({\rm{Oy}}\) tại điểm \((0;100)\).

Hàm số đi qua điếm \(\left( {120;\frac{{132}}{5}} \right);(200;20)\).

c) Vì \({C^\prime }(x) = \frac{{ - 2760}}{{{{(30 + x)}^2}}} < 0,\forall x \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } C(x) = 8\) nên nồng độ \({\rm{KOH}}\) trong cốc giảm theo \(x\) nhưng luôn lớn hơn \(8{\rm{mg}}/{\rm{ml}}\).