Một cơ sở sản xuất dự định làm các viên gạch men hình vuông cạnh 60cm

18/22

Một cơ sở sản xuất dự định làm các viên gạch men hình vuông cạnh \[60\;cm\]. Bề mặt viên gạch được trang trí bởi một hoạ tiết hình chữ nhật màu trắng có tâm trùng với tâm viên gạch. Các đỉnh của hình chữ nhật này nằm trên hai đường parabol đối xứng nhau qua tâm viên gạch. Biết rằng mỗi đường parabol có đỉnh tại trung điểm một cạnh của viên gạch và đi qua hai đầu mút của cạnh đối diện (như hình vẽ mô phỏng). Cho biết chi phí nguyên liệu phần men trắng là \[80\] nghìn đồng/m², còn phần men màu bao quanh là \[200\]nghìn đồng/m². Hỏi chi phí nguyên liệu thấp nhất để sản xuất một viên gạch là bao nhiêu nghìn đồng? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Giải thích

Đáp án: \[60,2\].

Một cơ sở sản xuất dự định làm các viên gạch men hình vuông cạnh 60cm (ảnh 1)

Chọn hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ (đơn vị \(dm\)). Khi đó các parabol nhận trục tung làm trục đối xứng, \(\left( {{P_1}} \right)\) đi qua \(\left( {0; - 3} \right)\) và \(\left( {3;3} \right)\) nên có phương trình \(\left( {{P_1}} \right):y = \frac{2}{3}{x^2} - 3\); \(\left( {{P_2}} \right)\) đi qua \(\left( {0;3} \right)\) và \(\left( {3; - 3} \right)\) nên có phương trình \(\left( {{P_2}} \right):y = - \frac{2}{3}{x^2} + 3\).

Hoành độ giao điểm của \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) là nghiệm của phương trình \(\frac{2}{3}{x^2} - 3 = - \frac{2}{3}{x^2} + 3 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

Lấy \(M\left( {x; - \frac{2}{3}{x^2} + 3} \right)\) \(\left( {0 < x < \frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

Suy ra diện tích hình chữ nhật trắng là \({S_1} = 2x.2.\left( { - \frac{2}{3}{x^2} + 3} \right) = - \frac{8}{3}{x^3} + 12x\;\left( {d{m^2}} \right)\) và phần diện tích màu là \({S_2} = S - {S_1} = {6^2} - \left( { - \frac{8}{3}{x^3} + 12x} \right) = \frac{8}{3}{x^3} - 12x + 36\;\left( {d{m^2}} \right)\).

Suy ra chi phí \(C\left( x \right) = \left( { - \frac{8}{3}{x^3} + 12x} \right).0,8 + \left( {\frac{8}{3}{x^3} - 12x + 36} \right).2 = \frac{{16}}{5}{x^3} - \frac{{72}}{5}x + 72\) (nghìn đồng)

Có \(C'\left( x \right) = \frac{{48}}{5}{x^2} - \frac{{72}}{5} = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{2}\),

Có BBT

Một cơ sở sản xuất dự định làm các viên gạch men hình vuông cạnh 60cm (ảnh 2)

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right)} C\left( x \right) = \frac{{360 - 24\sqrt 6 }}{5} \approx 60,2\)(nghìn đồng).