Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật A B C D , mặt phẳng ( A B C D ) song song với mặt phẳng nằm ngang.
21/22
Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật \(ABCD\), mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được đặt vào móc \(E\) của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp \(EA;\,EB;\,EC;\,ED\) bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)một góc \(\alpha \). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ;\,\overrightarrow {{F_2}} ;\,\overrightarrow {{F_3}} ;\,\overrightarrow {{F_4}} \) đều có cường độ là \(4800\,N\), trọng lượng của cả khung sắt chứa xe ô tô là \(7200\sqrt 6 \,N\). Tính \(\sin \alpha \) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Gọi \({A_1};\,{B_1};\,{C_1};\,{D_1}\) là các điểm thỏa mãn : \(\overrightarrow {E{A_1}} = \overrightarrow {{F_1}} ;\,\,\overrightarrow {E{B_1}} = \overrightarrow {{F_2}} ;\,\,\overrightarrow {E{C_1}} = \overrightarrow {{F_3}} ;\,\,\overrightarrow {E{D_1}} = \overrightarrow {{F_4}} \).
Vì \(EA;\,EB;\,EC;\,ED\) bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)một góc \(\alpha \) nên \(E{A_1};\,E{B_1};\,E{C_1};\,E{D_1}\) cũng bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\)một góc \(\alpha \).
Mặt khác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) cũng là hình chữ nhật có tâm O.
Từ các điều kiện trên ta suy ra \(EO \bot \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\). Khi đó \(\alpha = \left( {E{A_1};\,\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)} \right) = \widehat {E{A_1}O}\).
Ta có: \[\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \,\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \,\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\,\overrightarrow {{F_4}} } \right| = 4800N\] nên \(E{A_1} = E{B_1} = E{C_1} = E{D_1} = 4800\)
Xét tam giác \(E{A_1}O\) vuông tại O nên \(EO = E{A_1}.\sin \alpha = 4800.\sin \alpha \).
Ta có: \[\overrightarrow {{F_1}} + \,\overrightarrow {{F_2}} + \,\overrightarrow {{F_3}} + \,\overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {E{A_1}} + \overrightarrow {E{B_1}} + \overrightarrow {E{C_1}} + \overrightarrow {E{D_1}} = 4\overrightarrow {EO} \].
Mặt khác : \[\overrightarrow {{F_1}} + \,\overrightarrow {{F_2}} + \,\overrightarrow {{F_3}} + \,\overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow P \] với \[\overrightarrow P \] là trọng lực tác động lên khung chứa xe ô tô.
Suy ra: \[\overrightarrow P = 4\overrightarrow {EO} \].
Trọng lượng của cả khung sắt chứa xe ô tô là \[|\overrightarrow P | = 4EO = 19200.\sin \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\left( N \right)\].
Theo bài ra ta có: \[19200.\sin \alpha = 7200\sqrt 6 \, \Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{{3\sqrt 6 }}{8} \approx 0,92\].