Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng ( ABCD ) song song với mặt phẳng nằm ngang.
22/22
Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp \(EA, EB, EC\) và \(ED\) có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)một góc bằng \(60^\circ \) (hình minh họa). Chiếc cần cẩu đang kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.
Biết rằng các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \) đều có cường độ là \(4,7{\rm{\;kN}}\) và trọng lượng của khung sắt là \(3{\rm{\;kN}}\). Tính trọng lượng lớn nhất của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng phần chục)?
Đáp số: \(13,3{\rm{\;kN}}\).
Gọi \({{\rm{A}}_1},{\rm{\;}}{{\rm{B}}_1},{{\rm{C}}_1}\), \({{\rm{D}}_1}\) lần lượt là các điểm sao cho
\(\overrightarrow {E{A_1}} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {E{B_1}} = \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {E{C_1}} = \overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {E{D_1}} = \overrightarrow {{F_4}} \)
Vì \(EA, EB,EC,ED\) có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (\(ABCD\)) một góc bằng \({60^ \circ }\) nên \(E{A_1},\;E{B_1},E{C_1},E{D_1}\) bẳng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) một góc bằng \({60^ \circ }\).
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) cũng là hình chữ nhật.
Gọi \(O\) là tâm của hình chữ nhật \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\).
Ta suy ra \(EO \bot \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\).
Do đó, góc giữa đường thẳng \(E{A_1}\) và mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)\) bằng góc \(E{A_1}O\).
Suy ra \(\widehat {E{A_1}O} = {60^ \circ }\).
Ta có \(\left| {{{\vec F}_1}} \right| = \left| {{{\vec F}_2}} \right| = \left| {{{\vec F}_3}} \right| = \left| {{{\vec F}_4}} \right| = 4700\left( {{\rm{\;N}}} \right)\) nên \(E{A_1} = E{B_1} = E{C_1} = E{D_1} = 4,7\).
Tam giác \(E{A_1}O\) vuông tại O nên \(EO = E{A_1}\sin \widehat {E{A_1}O} = 4,7\sin {60^ \circ } = 2,35\sqrt 3 \).
Theo quy tấc ba điếm, ta có \(\overrightarrow {E{A_1}} = \overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{A_1}} ,\overrightarrow {E{B_1}} = \overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{B_1}} ,\overrightarrow {E{C_1}} = \overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{C_1}} \), \(\overrightarrow {E{D_1}} = \overrightarrow {EO} + \overrightarrow {O{D_1}} \)
Vì \(O\) là trung điếm của \({A_1}{C_1}\) và \({B_1}{D_1}\) nên \(\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{C_1}} = \vec 0, \overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{D_1}} = \vec 0\)
Từ đó suy ra \(\overrightarrow {E{A_1}} + \overrightarrow {E{B_1}} + \overrightarrow {E{C_1}} + \overrightarrow {E{D_1}} = 4\overrightarrow {EO} \).
Do đó, \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} = 4\overrightarrow {EO} \).
Gọi \(P\) là trọng lực của khung sắt có chứa chiếc ô tô.
Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô đang được kéo lên. Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là \(\left| {\vec P\left| { \le 4} \right|\overrightarrow {EO} } \right| = 4.2,35\sqrt 3 = 9,4\sqrt 3 \left( {{\rm{\;kN}}} \right).\)
Vì trọng lượng của khung sắt là \(3{\rm{\;kN}}\) nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là: \(9,4\sqrt 3 - 3 \approx 13,3\left( {{\rm{\;kN}}} \right).\)