Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài 24 cm , chiều rộng 12 cm , chiều cao 10 cm (hình a). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc

Đáp án: \[{\bf{13}}\].

Thể tích nước ban đầu trong khay thứ nhất là:

\({V_1} = 24 \cdot 12 \cdot 10 = 2880{\mkern 1mu} {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

Lượng nước đã đổ sang khay thứ hai (ký hiệu là \({V_n}\)) bằng \(\frac{1}{5}\) lượng nước ban đầu:

\({V_n} = \frac{1}{5} \cdot 2880 = 576{\mkern 1mu} {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

Gọi \(h\) là chiều cao của chiếc khay thứ hai (hình chóp cụt).

 Đáy nhỏ có đường chéo \(n\)\( \Rightarrow \) Cạnh đáy nhỏ \[{s_1} = \frac{n}{{\sqrt 2 }}\] \[ \Rightarrow \] Diện tích đáy nhỏ \({B_1} = \frac{{{n^2}}}{2}\).

 Đáy lớn có đường chéo \(3n\)\( \Rightarrow \) Cạnh đáy lớn \({s_2} = \frac{{3n}}{{\sqrt 2 }}\)\( \Rightarrow \) Diện tích đáy lớn \({B_2} = \frac{{9{n^2}}}{2}\).

Thể tích của khay thứ hai là:

\({V_{khay}} = \frac{1}{3}h\left( {{B_1} + {B_2} + \sqrt {{B_1} \cdot {B_2}} } \right) = \frac{1}{3}h\left( {\frac{{{n^2}}}{2} + \frac{{9{n^2}}}{2} + \sqrt {\frac{{9{n^4}}}{4}} } \right)\).

\({V_{khay}} = \frac{1}{3}h\left( {5{n^2} + 1,5{n^2}} \right) = \frac{{6,5}}{3}h \cdot {n^2} = \frac{{13}}{6}h \cdot {n^2}\left( 1 \right)\).

Diện tích mặt nước trong khay thứ hai:

Mực nước cao bằng \(\frac{3}{5}h\). Khi đó, phần nước cũng có dạng một hình chóp cụt.

 Đáy dưới của khối nước là đáy nhỏ của khay: \({B_1} = \frac{{{n^2}}}{2}\).

 Đáy trên của khối nước (mặt nước) có cạnh tỉ lệ thuận với chiều cao. Cạnh đáy mặt nước \(s'\)được tính theo công thức:

\(s' = {s_1} + \frac{3}{5}({s_2} - {s_1}) = \frac{n}{{\sqrt 2 }} + \frac{3}{5}\left( {\frac{{3n}}{{\sqrt 2 }} - \frac{n}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{n}{{\sqrt 2 }} + \frac{3}{5} \cdot \frac{{2n}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{11n}}{{5\sqrt 2 }}\)

Suy ra diện tích mặt nước \(B' = {(s')^2} = \frac{{121{n^2}}}{{50}} = 2,42{n^2}\)

Thể tích nước trong khay thứ hai là:

\(\begin{array}{l}{V_n} = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{3}{5}h} \right) \cdot \left( {{B_1} + B' + \sqrt {{B_1} \cdot B'} } \right) = \frac{h}{5}\left( {0,5{n^2} + 2,42{n^2} + \sqrt {0,5 \cdot 2,42}  \cdot {n^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 576 = \frac{h}{5} \cdot {n^2}\left( {2,92 + 1,1} \right) \Leftrightarrow 576 = \frac{{4,02}}{5}h \cdot {n^2} \Rightarrow h \cdot {n^2} = \frac{{576 \cdot 5}}{{4,02}} \approx 716,418.\end{array}\)

Thay \(h \cdot {n^2}\)vào công thức thể tích khay đã lập ở \(\left( 1 \right)\):

\(a = {V_{khay}} = \frac{{13}}{6} \cdot (h \cdot {n^2}) = \frac{{13}}{6} \cdot \left( {\frac{{576 \cdot 5}}{{4,02}}} \right) \approx 1552,238\).

Làm tròn đến hàng đơn vị: \(a = 1552\).

Tổng các chữ số của \(a\) là: \(1 + 5 + 5 + 2 = 13\).