Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là 2 000 cm3. Các kích thước của chiếc hộp là bao nhiêu nếu muốn lượng vật liệu dùng để sản xuất chiếc hộp là nhỏ nhất

Gọi x (m) là cạnh đáy của chiếc hộp.

Khi đó, ta có chiều cao của chiếc hộp là \(\frac{{2000}}{{{x^2}}}\) (cm).

Suy ra, tổng diện tích bề mặt của chiếc hộp là:

S = 2x² + 4x.\(\frac{{2000}}{{{x^2}}}\) = 2x² + \(\frac{{8000}}{x}\), x > 0.

Ta có: S' = 4x – \(\frac{{8000}}{{{x^2}}}\) = \(\frac{{4{x^3} - 8000}}{{{x^2}}}\)

           S' = 0 ⇔ x = 10\(\sqrt[3]{2}\).

Ta có bảng biến thiên:

Dễ thấy lượng vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất khi cạnh đáy của hộp là 10\(\sqrt[3]{2}\) (cm) và chiều cao của hộp là \(\frac{{20}}{{\sqrt[3]{4}}}\) cm.