Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm 0 trên trần nhà

a) Ta có \(18{\rm{in}} = 45,72\;{\rm{cm}} = 0,4572\;{\rm{m}}\).

Gọi \({\rm{G}}\) là trọng tâm tam giác \({\rm{ABC}}\).

Vì tam giác ABC đều nên \({\rm{G}}\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \({\rm{ABC}}\).

Do đó, \({\rm{GA}} = {\rm{GB}} = {\rm{GC}} = 0,4572\;{\rm{m}}\).

Theo bài ra ta có \({\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = {\rm{L}}\) nên \({\rm{OG}} \bot ({\rm{ABC}})\) và \(|\overrightarrow {{\rm{OA}}} | = |\overrightarrow {{\rm{OB}}} | = |\overrightarrow {{\rm{OC}}} | = {\rm{L}}\).

Do đó, \(\left| {{{\vec F}_1}} \right| = \left| {{{\vec F}_2}} \right| = \left| {{{\vec F}_3}} \right|\).

Vì vậy, tồn tại hẳng số \(c \ne 0\) sao cho: \(\overrightarrow {{F_1}}  = c\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {{F_2}}  = c\overrightarrow {OB} ;\overrightarrow {{F_3}}  = c\overrightarrow {OC} \).

Suy ra \({\vec F_1} + {\vec F_2} + {\vec F_3} = c(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} )\).

Theo quy tắc ba điểm ta có

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = (\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GA} ) + (\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GB} ) + (\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GC} ) = 3\overrightarrow {OG}  + (\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} ) = 3\overrightarrow {OG} \) ( do G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \vec 0\) ).

Do đó, \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = 3\overrightarrow {{\rm{OG}}} \).

Mặt khác ta lại có \({\vec F_1} + {\vec F_2} + \overrightarrow {{F_3}}  = \vec P\), với \(\vec P\) là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Mà trọng lượng tác dụng lên chiếc đèn là \(24\;{\rm{N}}\) nên \(|\vec P| = 24\;{\rm{N}}\).

Từ đó suy ra \(3{\rm{c}}|\overline {{\rm{OG}}} | = 24\), tức là \({\rm{c}} = \frac{8}{{|\overrightarrow {{\rm{OG}}} |}}\)

Tam giác \({\rm{OAG}}\) vuông tại \({\rm{G}}\) (do \(OG \bot (ABC)\) ) nên ta suy ra:

\(OG = \sqrt {O{A^2} - G{A^2}}  = \sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}} (\;{\rm{m}}){\rm{ v?i L}} > 0,4572.{\rm{ }}\)

Do đó, \(|\overrightarrow {{\rm{OG}}} | = \sqrt {{{\rm{L}}^2} - {{0,4572}^2}} \), suy ra \({\rm{c}} = \frac{8}{{\sqrt {{{\rm{L}}^2} - {{0,4572}^2}} }}\).

Khi đó, \({\rm{F}} = \left| {{{\rm{F}}_1}} \right| = {\rm{c}}|\overrightarrow {{\rm{OA}}} | = \frac{{8\;{\rm{L}}}}{{\sqrt {{{\rm{L}}^2} - {{0,4572}^2}} }}\).

Vậy \(F = F(L) = \frac{{8L}}{{\sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}} }}\) vởi \({\rm{L}} > 0,4572\).

b) Xét hàm số \(F = F(L) = \frac{{8L}}{{\sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}} }}\) với \(L \in (0,4572; + \infty )\).

Tạp xác định: \({\rm{D}} = (0,4572; + \infty )\).

Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{L \to \infty } F(L) = \mathop {\lim }\limits_{L \to  + \infty } \frac{{8\;{\rm{L}}}}{{\sqrt {{{\rm{L}}^2} - {{0,4572}^2}} }} = \mathop {\lim }\limits_{L \to  + \infty } \frac{8}{{\sqrt {1 - \frac{{{{0,4572}^2}}}{{\;{{\rm{L}}^2}}}} }} = 8\). Do đó, dường thắng \({\rm{F}} = 8\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{L}} \to 0,4577} \;{\rm{F}}(\;{\rm{L}}) =  + \infty \). Do đó, đường thắng \({\rm{L}} = 0,4572\) là tiệm cận dứng của đồ thị hàm số.

Đạo hàm \({F^\prime }(L) = \frac{{ - 8 - {{0,4572}^2}}}{{\left( {{L^2} - {{0,4572}^2}} \right)\sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}} }} < 0\) với mọi \({\rm{L}} \in (0,4572; + \infty )\).

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch bién trên khoảng \((0,4572; + \infty )\).

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số được vẽ như hình dưới đây:

c) Ta có lực căng tối đa của mỗi sợi dây là \(10\;{\rm{N}}\).

Với \(F(L) = 10\), ta có \(\frac{{8L}}{{\sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}} }} = 10\). Từ đó suy ra

\(5\sqrt {{L^2} - {{0,4572}^2}}  = 4L \Leftrightarrow 25{L^2} - 5,255796 = 16{L^2} \Rightarrow {\rm{L}} = 0,762 \in (0,4572; + \infty ).{\rm{ }}\)

Vậy chiều dài tối thiếu của mỗi sợi dây là \(L = 0,762\;{\rm{m}} = 76,2\;{\rm{cm}} = 30\) in.