Một chi tiết trong bộ trang sức có hình bát diện đều, được gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Các hình chóp S.ABCD và I.ABCD là các hình chóp tứ giác đều cạnh 1 cm .

a) Đáp số: \(0\).

Ta có \(OA = OB = OC = OD = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) nên \(A\left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }};0;0} \right),B\left( {0; - \frac{1}{{\sqrt 2 }};0} \right)\)\(,C\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }};0;0} \right)\),

\(D\left( {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }};0} \right)\)

Ta có \(OI = SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}  = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) nên \(S\left( {0;0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),I\left( {0;0; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\).

Tổng hoành độ các đỉnh \(S,A,B,C,D,I\) là:

\( - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 0 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + 0 + 0 + 0 = 0\).

b) Đáp số: \(109\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\) thì \(M\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }};\frac{1}{{2\sqrt 2 }};0} \right)\). 

Có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S;CD;I} \right] = \widehat {SMI}\).

Ta có \(\overrightarrow {MS} \left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}; - \frac{1}{{2\sqrt 2 }};\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),\overrightarrow {MI} \left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}; - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\).

\[ \Rightarrow \cos \widehat {SMI} = \frac{{ - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}. - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} +  - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}. - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}. - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}}{{\sqrt {{{\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} }} =  - \frac{1}{3}\]

\[ \Rightarrow \widehat {SMI} \approx 109^\circ \].