Một Chi Đoàn có 3 Đoàn viên nữ và một số Đoàn viên nam.Cần lập một đội thanh niên tình nguyện (TNTN) gồm 4 người. Gọi A là biến cố :” 4 người được chọn có 3 nữ” và B là biến cố :” 4 người đượ

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số Đoàn viên trong Chi đoàn là n (n ∈ℕ^*, n ≥ 7)

⇒Số Đoàn viên nam trong Chi Đoàn là n – 3

Ta có : Mỗi lần chọn 4 Đoàn viên ngẫu nhiên từ n Đoàn viên cho ta một tổ hợp chập 4 của n nên n(Ω) =\(C_n^4\)

* Để lập đội TNTN trong đó có 3 nữ có thể xem là một công việc gồm 2 công đoạn:

+ Công đoạn 1: Chọn 3 nữ có 1 cách chọn

+ Công đoạn 2: Chọn 1 nam có n - 3 cách chọn

⇒n(A) = 1.(n - 3) = n - 3

⇒P(A) =  \(\frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\) = \(\frac{{n - 3}}{{C_n^4}}\)

* Để lập đội TNTN có 4 Đoàn viên là nam có n(B) = \(C_{n - 3}^4\)

⇒P(B) =  \(\frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}}\) = \(\frac{{C_{n - 3}^4}}{{C_n^4}}\)

Theo giả thiết ta có: P(A) = \(\frac{2}{5}\)P(B)

hay \(\frac{{n - 3}}{{C_n^4}}\)= \(\frac{2}{5}\).\(\frac{{C_{n - 3}^4}}{{C_n^4}}\)

⇒ n – 3 = \(\frac{2}{5}\).\(C_{n - 3}^4\)

Mà \(C_{n - 3}^4\)=\(\frac{{(n - 3)!}}{{4!(n - 7)!}}\)= \(\frac{{(n - 7)!(n - 6)(n - 5)(n - 4)(n - 3)}}{{24(n - 7)!}}\)

              = \[\frac{{(n - 6)(n - 5)(n - 4)(n - 3)}}{{24}}\]

⇒ n – 3 = \(\frac{2}{5}\).\[\frac{{(n - 6)(n - 5)(n - 4)(n - 3)}}{{24}}\]

⇒(n – 6)(n – 5)(n – 4) = 60

⇒ n³ – 15n² + 74n – 180 = 0

⇒ n = 9

Vậy Chi Đoàn có 9 Đoàn viên