Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng với vận tốc v(t), 0 =< t =< 5
16/22
Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng với vận tốc \[v\left( t \right),{\rm{ }}0 \le t \le 5\] (\[t\]có đơn vị là giây và \[v\left( t \right)\] có đơn vị mét/giây). Hàm số \[v\left( t \right)\] có đồ thị gồm hai đoạn thẳng \[OB,BC\] và đường cong \[CD\] là một phần parabol \[v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c,{\rm{ }}\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\] có đỉnh \[C\] (như hình vẽ).
a) Trong một giây đầu tiên, vận tốc của chất điểm là \[v\left( t \right) = 2t,{\rm{ }}0 \le t \le 1\].
b) Quãng đường chất điểm đi được trong hai giây đầu tiên là \[2{\rm{ m}}\].
c) Giá trị của \[b\] và\[c\] lần lượt là \[b = 3,c = - \frac{5}{2}\].
d) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian \[5\] giây là \[7,7{\rm{ m}}\] (kết quả được làm tròn đến hàng phần mười).
a) Đúng. Đường thẳng \[OB:v\left( t \right) = mt + n\] đi qua hai điểm \[O\left( {0;0} \right),{\rm{ }}B\left( {1;2} \right)\], ta
\[\left\{ \begin{array}{l}n = 0\\m + n = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 0\end{array} \right. \Rightarrow OB:v\left( t \right) = 2t\] với \[0 \le t \le 1\].
b) Sai. Đường thẳng \[BC:v\left( t \right) = 2\] với \[1 \le t \le 3\].
Quãng đường chất điểm đi được trong hai giây đầu tiên là\[{S_1} = \int\limits_0^1 {2t{\rm{dt}}} + \int\limits_1^2 {2{\rm{dt}}} = 3{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].
c) Đúng. Parabol \[v\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\] nhận \[{x_C} = 3\] làm trục đối xứng nên đồ thị đi qua ba điểm \[\left( {1;0} \right),\]\[C\left( {3;2} \right),{\rm{ }}D\left( {5;0} \right)\], ta có \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\9a + 3b + c = 2\\25a + 5b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = 3\\c = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\].
Đường cong \[CD\] là \[v\left( t \right) = - \frac{1}{2}{t^2} + 3t - \frac{5}{2}\] với \[3 \le t \le 5\].
d) Đúng.Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian \[5\] giây là
\[S = \int\limits_0^1 {2t{\rm{dt}}} + \int\limits_1^3 {2{\rm{dt}}} + \int\limits_3^5 {\left( { - \frac{1}{2}{t^2} + 3t - \frac{5}{2}} \right){\rm{dt}}} = \frac{{23}}{3} \approx 7,7{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).\]