Một cây cầu treo tháp đôi cao 75 m so với mặt của cây cầu và cách nhau 400 m. Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số y = ax^2 và được treo trên các đỉnh tháp
7/83
Một cây cầu treo tháp đôi cao \[75{\rm{ m}}\] so với mặt của cây cầu và cách nhau \[{\rm{400 m}}{\rm{.}}\]Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số \[y = a{x^2}\] và được treo trên các đỉnh tháp như hình vẽ.
(a) Tính độ dài đoạn \[CH\] của dây cáp, biết điểm \[H\] cách tâm \[O\] của cây cầu là \[100{\rm{ m}}{\rm{.}}\](giả sử mặt cầu của cây cầu bằng phẳng)
(b) Nếu có đường thẳng vuông góc với trục \[Oy\] tại điểm \[E\left( {0;27} \right)\] và đồng thời cắt parabol hai điểm \[M,N\] (như hình vẽ) thì khoảng cách hai điểm \[M,N\] lần lượt đến tâm \[O\] là bao nhiêu?
a) • Tìm hàm số \[y = a{x^2}\].
Theo đề bài, ta có: hàm số \[y = a{x^2}\] đi qua điểm có tọa độ là \[\left( {200;75} \right)\] và \[\left( { - 200;75} \right)\].
Do đó, thay \[x = 200,y = 75\] vào hàm số \[y = a{x^2}\], ta được:
\[75 = a{.200^2}\] suy ra \[a = \frac{3}{{1600}}\].
Vậy hàm số đó là \[y = \frac{3}{{1600}}{x^2}\].
Để tính được chiều cao của \[CH\], ta thay \[x = 100\] vào hàm số \[y = \frac{3}{{1600}}{x^2}\], ta được:
\[y = \frac{3}{{1600}}{.100^2} = \frac{{75}}{4} = 18,75{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].
Vậy độ dài đoạn \[CH = 18,75{\rm{ m}}\].
b) Ta có tọa độ điểm \[M( - {x_0};27)\] và \[N({x_0};27)\].
Thay \[y = 27\] vào hàm số \[y = \frac{3}{{1600}}{x^2}\], ta được:
\[27 = \frac{3}{{1600}}{x^2}\] suy ra \[{x^2} = 14400\] suy ra \[x = 120\] và \[x = - 120\].
Do đó, tọa độ điểm \[M( - 120;27)\], \[N(120;27)\].
Có khoảng cách từ \[M\] lần lượt đến tâm \[O\] bằng khoảng cách từ \[N\] lần lượt đến tâm \[O\] hay \[MO = ON\].
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông \[EOM\], có:
\[O{E^2} + E{M^2} = O{M^2}\] hay \[{27^2} + {120^2} = O{M^2}\] suy ra \[OM = 123{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].
Do đó, khoảng cách hai điểm \[M,N\] lần lượt đến tâm \[O\] là \[123{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].