Một cái trứng khủng long đồ chơi là một khối tròn xoay được tạo thành từ 2 mảnh ghép lại. Biết mảnh trên được tạo thành khi xoay một phần tư đường elip với trục lớn là 8 và trục nhỏ là 4 quan
40/55
Một cái trứng khủng long đồ chơi là một khối tròn xoay được tạo thành từ 2 mảnh ghép lại. Biết mảnh trên được tạo thành khi xoay một phần tư đường elip với trục lớn là 8 và trục nhỏ là 4 quanh trục \[Ox\]và mảnh dưới được tạo thành khi xoay một phần tư đường tròn bán kính 2 quanh trục \[Ox\] như hình sau (bỏ qua độ dày của vỏ trứng).
(a) Thể tích phần trong của mảnh trên được tính bởi \[{V_1} = \frac{\pi }{4}\int\limits_{ - 4}^0 {\left( {16 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} \].
(b) Thể tích phần trong của mảnh trên gấp 2 lần thể tích phần trong của mảnh dưới.
(c) Thể tích phần trong của quả trứng đồ chơi này là \[16\pi \].
(d) Diện tích thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng qua trục của quả trứng là \[3\pi \].
a) Đúng. Mảnh trên được biểu diễn bởi elip: \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow {y^2} = 4\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} \right)\).
Thể tích phần trong của mảnh trên được tính bởi \[{V_1} = \pi \int\limits_{ - 4}^0 {\left[ {4\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{16}}} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \frac{\pi }{4}\int\limits_{ - 4}^0 {\left( {16 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} \].
b) Đúng. Thể tích phần trong mảnh trên là: \[{V_1} = \frac{\pi }{4}\int\limits_{ - 4}^0 {\left( {16 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{32\pi }}{3}\].
Mảnh dưới được biểu diễn bởi đường tròn: \({x^2} + {y^2} = 4 \Rightarrow {y^2} = 4 - {x^2}\).
Thể tích phần trong dưới là: \[{V_2} = \pi \int\limits_0^2 {\left( {4 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{16\pi }}{3}\].
Vậy thể tích phần trong của mảnh trên gấp 2 lần thể tích phần trong của mảnh dưới.
c) Đúng. Thể tích phần trong của quả trứng đồ chơi này là: \(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{32\pi }}{3} + \frac{{16\pi }}{3} = 16\pi \).
d) Sai. Diện tích thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng qua trục của quả trứng là \[4\pi \].