Một cái ly thủy tinh có chiều cao 30cm. Khi cắt ly bởi các mặt phẳng song song với mặt đất, ta thấy mặt cắt là các hình tròn. Khi cắt ly bởi mặt phẳng đi qua trục đối xứng và vuông góc với đá

Đáp số: 3327

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho trục tung \(Oy\)trùng với trục đối xứng của cái ly, và gốc tọa độ \(O\) là trung điểm của \(MN\)nằm tại tâm của đường tròn hẹp nhất.

Ta có \(MN = 8 \Rightarrow ON = 4 \Rightarrow N\left( {4;0} \right)\).

Khoảng cách từ vị trí hẹp nhất đến đáy ly là\(20cm\) và đường kính đáy ly là \(CD = 8\sqrt 6 cm\)   

nên \(C\left( { - 20;4\sqrt 6 } \right)\).

Gọi phương trình tổng quát của hypebol có dạng: \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

\(N \in \left( H \right) \Rightarrow {a^2} = 16\).

\(C \in \left( H \right) \Rightarrow {b^2} = 80\).

Suy ra phương trình Hypebol là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{80}} = 1 \Rightarrow {x^2} = 16\left( {1 + \frac{{{y^2}}}{{80}}} \right)\)  .

Thể tích nước ban đầu trong ly: \({V_1} = \pi \int\limits_{ - 20}^{10} {{x^2}dy}  = \pi \int\limits_{ - 20}^{10} {16\left( {1 + \frac{{{y^2}}}{{80}}} \right)dy}  = 1080\pi \).

Xét hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) trong đó \(S\) là đỉnh của hình lập phương nằm bên trong ly nước và \(A,\,B,\,C\) là các điểm chung của hình lập phương với miệng ly; \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)và \(H\) là trung điểm \(BC\)

Đặt \(x\,{\rm{cm}}\) là cạnh đáy hình chóp thì \(AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{{x\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\).

Tam giác \(ABC\) đều nội tiếp đường tròn có bán kính \(r = x\left( {10} \right) = 6\) nên \(r = OA \Leftrightarrow \frac{{x\sqrt 3 }}{3} = 6 \Rightarrow x = 6\sqrt 3 \).

Vì hình chóp S.ABC có SA, SB, SC bằng nhau và đôi một vuông góc tại đỉnh S nênS8v| độ dài cạnh \(SA = SB = SC = \frac{x}{{\sqrt 2 }} = 3\sqrt 6 \).

Thể tích khối chóp\(SABC\) \[{V_2} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}SA.SB.SC = 27\sqrt 6 \].

Thể tích nước còn lại trong ly: \(V = {V_1} - {V_2} = 3326,78 \simeq 3327\).