Một cái lều có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng 8 m và chiều cao là 3 m. Cửa vào lều là hình thang EFGH trong đó AE = FB và EF = 4 m

Gọi \(I\) là điểm phát sáng; \(M\) là trung điểm của \(EF;N = SM \cap GH;K = OM \cap G'H'.\)

Ta có \(GH\) là đường trung bình của tam giác \(SEF\) nên

\(GH{\rm{//}}EF \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow GH{\rm{//}}\left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {IGH} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = G'H'{\rm{//}}EF\).

Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SO,OM.\) Theo đề bài ta có

\(SI = 1{\rm{m,}}IO = 2{\rm{m,}}SP = \frac{1}{2}SO = \frac{3}{2}{\rm{m}} \Rightarrow IP = \frac{1}{2};NP = OQ = 2{\rm{m}}\) (vì \(M\) là trung điểm của \(EF\) nên \(N\) là trung điểm của \(GH,SM)\).

Xét tam giác \(IOK\) có \(PN{\rm{//}}OK \Rightarrow \frac{{IP}}{{IO}} = \frac{{PN}}{{OK}} = \frac{{1/2}}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow OK = 8{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Mà \(OM = 4\) nên \(M\) là trung điểm của \(OK\) và \(EF{\rm{//}}G'H'\) nên \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(OG'H' \Rightarrow G'H' = 2EF = 2\left( {AB - AE - FB} \right) = 8{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Do \(M\) là trung điểm của \(EF\), cũng là trung điểm của \(AB\) nên \(OM \bot EF.\) Suy ra \(MK\) là đường cao của hình thang \(EFG'H'\) và \(MK = OM = 4{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Vậy \({S_{EFG'H'}} = \frac{{EF + G'H'}}{2} \cdot MK = \frac{{4 + 8}}{2} \cdot 4 = 24{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)

Cách khác

Gọi \(I\) là điểm phát sáng; \(M\) là trung điểm của \(EF\) cũng là trung điểm của \(AB\,\,({\rm{v\`i }}AE = FB);J\) là trung điểm của \(BC\) (hình vẽ).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho tia \(OM \equiv Ox,ON \equiv Oy,OS \equiv Oz.\) Khi đó

\(O\left( {0;0;0} \right),M\left( {4;0;0} \right),J\left( {0;4;0} \right),S\left( {0;0;3} \right),A\left( {4; - 4;0} \right),B\left( {4;4;0} \right),E\left( {4; - 2;0} \right),F\left( {4;2;0} \right),I\left( {0;0;2} \right).\)

\(H\) là trung điểm \(SE \Rightarrow H\left( {2; - 1;\frac{3}{2}} \right)\); \(G\)là trung điểm của \(SF \Rightarrow G\left( {2;1;\frac{3}{2}} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right) \equiv \left( {Oxy} \right):z = 0.\)

\(\overrightarrow {IH} = \left( {2; - 1; - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {4; - 2; - 1} \right) \Rightarrow IH:\left\{ \begin{array}{l}x = 4t\\y = - 2t\\z = 2 - t\end{array} \right. \Rightarrow H' = IH \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow H'\left( {8; - 4;0} \right)\).

\(\overrightarrow {IG} = \left( {2;1; - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {4;2; - 1} \right) \Rightarrow IG:\left\{ \begin{array}{l}x = 4t'\\y = 2t'\\z = 2 - t'\end{array} \right. \Rightarrow G = IG \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow G\left( {8;4;0} \right)\).

\(\overrightarrow {EH'} = \left( {4; - 2;0} \right),\overrightarrow {EG'} = \left( {4;6;0} \right),\overrightarrow {EF} = \left( {0;4;0} \right)\).

Vậy \({S_{EFG'H'}} = {S_{\Delta EFG'}} + {S_{\Delta EG'H'}} = \frac{1}{2}\left( {\left| {\overrightarrow {EF} \times \overrightarrow {EG'} } \right| + \left| {\overrightarrow {EG'} \times \overrightarrow {EH'} } \right|} \right) = \frac{1}{2}\left( {16 + 32} \right) = 24{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)

Đáp án: \(24\).