Một bồn hình trụ cao h chứa nước. Theo định luật Torricelli, vận tốc tia nước chảy qua lỗ ở độ sâu x so với mặt nước là V = căn 2 gx . Người ta cho rằng tầm xa R (feet) của tia nước được
20/22
Một bồn hình trụ cao \(h\) chứa nước. Theo định luật Torricelli, vận tốc tia nước chảy qua lỗ ở độ sâu \(x\) so với mặt nước là \(V = \sqrt {2gx} \). Người ta cho rằng tầm xa \(R\) (feet) của tia nước được cho bởi \(R = 2\sqrt {x(h - x)} \). Biết lỗ phun nên đặt ở độ cao \(x = K.h,\,(K \in \mathbb{R})\) so với mặt bồn thì tầm xa \(R\) đạt cực đại. Tìm \(K\)?
____
Thay vì trực tiếp tối đa \(R(x)\), ta có thể tối đa \({R^2}(x)\) (vì hàm căn là tăng):
\({R^2}(x) = 4x(h - x) = 4\left( {hx - {x^2}} \right)\)
Tính đạo hàm: \[{\left( {{R^2}(x)} \right)^\prime } = 4(h - 2x)\]
Giải \({\left( {{R^2}} \right)^\prime } = 0\): \(h - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{h}{2}.\)
Lập bảng biến thiên ta có \(x = \frac{h}{2}\) là điểm cực đại.
Vậy lỗ phun nên đặt ở độ cao \(x = \frac{h}{2}\) để tầm xa \(R\) của tia nước đạt tối đa.