Một bệnh viện sử dụng một loại xét nghiệm mới để tầm soát một loại bệnh hiếm trong cộng đồng. Theo số liệu thống kê, tỷ lệ người mắc bệnh này trong dân cư chỉ là 1%, còn lại 99% người là khỏe

27/40

Một bệnh viện sử dụng một loại xét nghiệm mới để tầm soát một loại bệnh hiếm trong cộng đồng. Theo số liệu thống kê, tỷ lệ người mắc bệnh này trong dân cư chỉ là 1%, còn lại 99% người là khỏe mạnh. Độ chính xác của thiết bị xét nghiệm được mô tả như sau:

+) Nếu một người thực sự mắc bệnh, hệ thống cho kết quả “dương tính” với xác suất 98%.

+) Nếu một người khỏe mạnh, hệ thống vẫn có thể đưa ra kết quả “dương tính giả” (kết luận nhầm là có bệnh) với xác suất 3%.

Chọn ngẫu nhiên một người dân để thực hiện xét nghiệm. Gọi A là biến cố “Người được chọn thực sự mắc bệnh” và B là biến cố “Hệ thống trả kết quả xét nghiệm dương tính”. Những phương án nào dưới đây đúng?

Chọn tất cả các đáp án đúng (MSQ)

1. Xác suất để một người bất kỳ nhận kết quả dương tính là \(P\left( B \right) = 0,0395\).

2. Xác suất người đó có bệnh là \(P\left( A \right) = 0,01\) và không có bệnh là \(P\left( {\overline A } \right) = 0,99\).

3. Nếu một người nhận kết quả dương tính, xác suất họ thực sự mắc bệnh là \(P\left( {A|B} \right) = 0,7\).

4. Trong số những người nhận kết quả dương tính từ hệ thống, khả năng cao họ là người khỏe mạnh hơn là người mắc bệnh thực sự.

Giải thích

Từ dữ kiện đề bài ta có \(P\left( A \right) = 0,01;P\left( {\overline A } \right) = 0,99\); \(P\left( {B|A} \right) = 0,98;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,03\).

1. Đúng. Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)\)\( = 0,01 \cdot 0,98 + 0,99 \cdot 0,03 = 0,0395\).

2. Đúng. Từ dữ kiện đề ta có \(P\left( A \right) = 0,01;P\left( {\overline A } \right) = 0,99\).

3. Sai. Theo công thức Bayes, có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,01 \cdot 0,98}}{{0,0395}} \approx 0,25\).

4. Đúng. Theo công thức Bayes, ta có \(P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,99 \cdot 0,03}}{{0,0395}} \approx 0,75\).

Vì \(P\left( {\overline A |B} \right) > P\left( {A|B} \right)\) nên trong số những người nhận kết quả dương tính từ hệ thống thì khả năng cao họ là người khỏe mạnh hơn là người mắc bệnh thực sự. Chọn 1, 2, 4.