Một bể chứa dầu ban đầu có \(50000\)lít dầu. Gọi \(V\left( t \right)\) là thể tích dầu (lít) trong bể tại thời điểm \(t\), trong đó \(t\)tính theo giờ \(0 \le t \le 24\). Trong quá trình bơm

a) Đúng. Ta có \(V\left( t \right) = \int {V'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {k.\sqrt t {\rm{d}}t} } \).

Vậy hàm số \(V\left( t \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( t \right) = k.\sqrt t \).

b) Đúng. Ta có \(V\left( t \right) = \int {V'\left( t \right){\rm{d}}t = \int {k.\sqrt t {\rm{d}}t} } = \frac{{2k}}{3}.t\sqrt t + C\), với \(0 \le t \le 24\)và \(k,\,\,C\)là các hằng số.

c) Sai. Do ban đầu bể chứa dầu ban đầu có \(50000\)lít dầu nên \(V\left( 0 \right) = 50\,000 \Rightarrow C = 50\,000\).

Mặt khác sau 4 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt \(58000\) lít nên ta có:

\(V\left( 4 \right) = \frac{{2k}}{3}.4\sqrt 4 + 50000 = 58000 \Leftrightarrow k = 1500\).

Vậy \(V\left( t \right) = 1\,000.t\sqrt t + 50\,000\).

Sau 16 giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt được:

\(V\left( {16} \right) = 1\,000.16\sqrt 6 + 50\,000 = 114\,000\)lít.

d) Đúng. Trong quá trình bơm dầu, nếu sau mỗi giờ lượng dầu bị rò rỉ đều đặn với tốc độ \(500\)lít/giờ, thì tại thời điểm \(t\)bằng 9 giờ, thể tích dầu trong bể là

\(V\left( 9 \right) = 1\,000.9\sqrt 9 + 50\,000 - 500.9 = 72\,500\) lít.