Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hoà tan).

a) Thể tích nước có trong bế sau \(t\) phút là: \(V(t) = 200 + 40t\) (lít).

Khối lượng chất khử trùng có trong bế sau t phút là: \({\rm{M}}({\rm{t}}) = 20{\rm{t}}({\rm{gam}})\).

Nồng độ chất khử trùng trong bế sau t phút là: \(\frac{{20t}}{{200 + 40t}}\) (gam/lit).

b) \(y = f(t) = \frac{{20t}}{{200 + 40t}}(t \ge 0)\).

Tập xác định của hàm số là \({\rm{D}} = [0; + \infty )\).

Sự biến thiên:

Ta có \({y^\prime } = \frac{{20(200 + 40t) - 20t \cdot 40}}{{{{(200 + 40t)}^2}}} = \frac{{4000}}{{{{(200 + 40t)}^2}}} > 0\) với mọi \({\rm{t}} \in {\rm{D}}\).

Hàm số luôn đồng biến trên \({\rm{D}}\).

Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{20t}}{{200 + 40t}} = \frac{1}{2}\). Do đó \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phần bên phải trục Oy).

\(\mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} \frac{{20t}}{{200 + 40t}} = 0\)

Bảng biến thiên

Đồ thị.

Hàm số đi qua điểm \((0;0);\left( {1;\frac{1}{{12}}} \right);\left( {2;\frac{1}{7}} \right)\).

c) Vì \({y^\prime } = \frac{{4000}}{{{{(200 + 40t)}^2}}} > 0,\forall t \ge 0\) và lim \(_{t \to  + \infty }\frac{{20t}}{{200 + 40t}} = \frac{1}{2}\) nên nồng độ chất khử trùng tăng theo \(y\) nhưng không vượt ngường \(0,5{\rm{gam}}/\) lít.