Một bể cá đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với AB = 6 (dm), AD = 8 (dm) và cạnh bên bằng 10 (dm).
21/22
Một bể cá đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với \(AB = 6\) (dm), \(AD = 8\) (dm) và cạnh bên bằng \(10\) (dm). Một chú cá con bơi theo những đoạn thẳng từ điểm \(G\) đến chạm mặt đáy của hồ, rồi từ điểm đó bơi đến vị trí điểm \(M\) là trung điểm của \(AF\) được mô hình hóa như hình vẽ sau:
Để đường đi ngắn nhất thì chú cá bơi đến điểm dưới đáy hồ cách \(BA\) và \(BC\) những đoạn bằng \(a\) và \(b.\) Khi đó tổng \(D = 3a + 6b\) bao nhiêu ?
Dựng hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ
Khi đó tọa độ các điểm là \(B\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(C\left( {8;\,0;\,0} \right)\), \(D\left( {8;\,6;\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,6;\,0} \right)\), \(G\left( {8;\,0;\,10} \right)\), \(F\left( {0;\,0;\,10} \right)\).
Ta có: \(M\) là trung điểm của \(AF\)\( \Rightarrow M\left( {0;\,3;\,5} \right)\).
Con cá bơi từ điểm \(G\) đến chạm mặt đáy hồ tại điểm \(I\left( {x;\,y;\,0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\) với \(0 \le x \le 8\), \(0 \le y \le 6\).
Gọi \(N\) là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua \(\left( {Oxy} \right)\) \( \Rightarrow N\left( {0;\,3;\, - 5} \right)\).
Quãng đường di chuyển của con cá là \(G - I - M\)
Ta có: \(IM + IG = IN + IG \ge GN\)\( = \sqrt {{{\left( {0 - 8} \right)}^2} + {{\left( {3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 10} \right)}^2}} = \sqrt {298} \).
Để \(IM + IG\) nhỏ nhất thì ba điểm \(I\), \(G\), \(N\) thẳng hàng
Suy ra \(\overrightarrow {IG} \), \(\overrightarrow {NG} \) cùng phương.
\(\overrightarrow {IG} = \left( {8 - x;\, - y;\,10} \right)\).
\(\overrightarrow {NG} = \left( {8;\, - 3;\,15} \right)\).
Do đó \(\frac{{8 - x}}{8} = \frac{{ - y}}{{ - 3}} = \frac{{10}}{{15}}\).
Suy ra \(x = \frac{8}{3}\), \(y = 2\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{8}{3};\,2;\,0} \right)\).
Khi đó, \(a = d\left( {I,BA} \right) = \frac{8}{3}\), \(b = d\left( {I,BC} \right) = 2\).
Vậy \(D = 3a + 6b = 3 \cdot \frac{8}{3} + 6 \cdot 2 = 20\).