Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài a (m) và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD

Dựng các đường cao AE và BF của hình thang cân ABCD như hình vẽ trên.

Vì ABCD là hình thang cân nên DE = FC và EF = AB = a.

Đặt DE = FC = x (m) (x > 0).

Ta có DC = DE + EF + FC = x + a + x = 2x + a.

Theo định lí Pythagore, ta suy ra AE =  AD2−DE2=a2−x2 (m).

Rõ ràng, x phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < a.

Diện tích của hình thang cân ABCD là

S =  12(AB + CD)AE =  12(a + 2x + a) a2−x2 = (a + x) a2−x2 (m²).

Xét hàm số S(x) = (a + x) a2−x2 với x ∈ (0; a).

Ta có S'(x) =  −2x2−ax+a2a2−x2;

          S'(x) = 0 ⇔ – 2x² – ax + a² = 0 ⇔ (x + a)(a – 2x) = 0 ⇔ x = – a hoặc x =  a2.

Khi đó trên khoảng (0; a), S'(x) = 0 khi x =  a2.

Bảng biến thiên của hàm số S(x) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất bằng  3a234 tại  x=a2.

Vậy bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là  3a234 (m²).