Mặt cầu (S) có tâm I(−1;2;−5) cắt mặt phẳng

15/21

Mặt cầu (S) có tâm I(−1;2;−5) cắt mặt phẳng \[(P):2x - 2y - z + 10 = 0\;\]theo thiết diện là hình tròn có diện tích \[3\pi \]. Phương trình của (S) là:

\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 18 = 0\]

\[{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 5)^2} = 25\]

\[{(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(x - 5)^2} = 16\]

\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 12 = 0\]

Giải thích

Gọi O là tâm của đường tròn thiết diện, E là một điểm thuộc đường tròn.

Ta có: \[IO = d\left( {I,(P)} \right);R = IE\]

\[IO = d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{|2.( - 1) - 2.2 + 5 + 10|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = 3\]

\[S = 3\pi = \pi .O{E^2} \Leftrightarrow O{E^2} = 3\]

Tam giác IOE vuông tại O nên\[{R^2} = I{E^2} = I{O^2} + O{E^2} = 3 + 9 = 12.\]

Suy ra phương trình mặt cầu (S) là:

\[{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 12\]

hay\[{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 18 = 0\]

Mặt cầu (S) có tâm I(−1;2;−5) cắt mặt phẳng (ảnh 1)

Đáp án cần chọn là: A