Mặt cắt đứng của một cổng chào nghệ thuật được thiết kế trong hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị: mét) gồm hai nhánh đường cong (C1) có phương trình y = a^x (với a > 1) và nhánh phải (x > 0) có phươn

Điểm \(M \in \left( {{C_1}} \right):y = {a^x}\)

Ta có: \(\frac{1}{2} = {a^{{x_M}}} \Rightarrow {x_M} =  - {\log _a}2\) nên \(M\left( { - {{\log }_a}2;\frac{1}{2}} \right)\)

Điểm \(N \in \left( {{C_2}} \right):y = {\log _b}x\)

Ta có: \(\frac{1}{2} = {\log _b}{x_N} \Rightarrow {x_N} = \sqrt b \) nên \(N\left( {\sqrt b ;\frac{1}{2}} \right)\)

Hệ số góc tiếp tuyến tại \(M:y' = {\left( {{a^x}} \right)^\prime } = {a^x}\ln a \Rightarrow {k_M} = {a^{{x_M}}}\ln a = \frac{1}{2}\ln a\)

Hệ số góc tiếp tuyến tại \(N:y' = {\left( {{{\log }_b}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x.\ln b}} \Rightarrow {k_N} = \frac{1}{{\sqrt b .\ln b}}\)

Theo đề bài ta có : \({k_M}.{k_N} = \frac{1}{2}\ln a.\frac{1}{{\sqrt b .\ln b}} = \frac{1}{{16}} \Rightarrow \frac{{\ln a}}{{\ln b}} = \frac{{\sqrt b }}{8}\left( 1 \right)\)

Mặt khác, điểm \(H\) là trung điểm của \(MN \Leftrightarrow \left| {{x_M}} \right| = {x_N} \Leftrightarrow {\log _a}2 = \sqrt b  \Rightarrow \frac{{\ln 2}}{{\ln a}} = \sqrt b \left( 2 \right)\)

Lấy \(\left( 1 \right).\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {\frac{{\ln a}}{{\ln b}}} \right).\left( {\frac{{\ln 2}}{{\ln a}}} \right) = \frac{{\sqrt b }}{8}.\sqrt b  \Rightarrow b = 4\). Thay \(b = 4\)vào \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt 4  = {\log _a}2 \Rightarrow a = \sqrt 2 \)

Tổng thể tích khối bê tông cần sử dụng là: $V=a^2+b^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2+4^2=\boxed{18}\left({\text{m}}^3\right)$