Mặt cắt đứng của một cây cầu vòm được mô phỏng bởi đường cong y = 1/2e^(- x^2), x tính bằng dam (1 dam = 10 m), y là độ cao so với mặt sàn. Người ta muốn đặt một cống

Do tính chất đối xứng qua trục tung \(Oy\) của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}\), gọi tọa độ điểm \(D\) nằm trên trục hoành bên dương là \(D\left( {x;0} \right)\) với \(x > 0\). Khi đó tọa độ điểm \(A\) đối xứng với \(D\) qua \(O\) là \(A\left( { - x;0} \right)\).

Chiều dài đáy hình chữ nhật \(AD\) là: \(AD = 2x\).

Điểm \(C\) thuộc đồ thị có hoành độ bằng hoành độ của \(D\) nên tọa độ \(C\left( {x;\frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}} \right)\).

Chiều cao của hình chữ nhật \(CD\) là: \(CD = \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}}\).

Diện tích của tiết diện hình chữ nhật \(ABCD\) tính theo đơn vị \({\rm{da}}{{\rm{m}}^2}\) là:

\(S\left( x \right) = AD \cdot CD = 2x \cdot \frac{1}{2}{e^{ - {x^2}}} = x \cdot {e^{ - {x^2}}}\).

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(S\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Tính đạo hàm: \(S'\left( x \right) = 1 \cdot {e^{ - {x^2}}} + x \cdot \left( { - 2x} \right){e^{ - {x^2}}} = \left( {1 - 2{x^2}} \right){e^{ - {x^2}}}\).

Giải phương trình \(S'\left( x \right) = 0\): \(1 - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\rm{\;(do\;}}x > 0)\).

Bảng biến thiên của hàm diện tích \(S\left( x \right)\):

Diện tích lớn nhất đạt được tại \(x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\): \({S_{{\rm{max}}}} = S\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot {e^{ - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot {e^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt {2e} }}{\rm{\;(da}}{{\rm{m}}^2})\).

Đổi đơn vị diện tích sang mét vuông (\({{\rm{m}}^2}\)):

Vì \(1{\rm{\;dam}} = 10{\rm{\;m}} \Rightarrow 1{\rm{\;da}}{{\rm{m}}^2} = 100{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) nên \({S_{{\rm{max}}}} = \frac{1}{{\sqrt {2e} }} \cdot 100 \approx \frac{{100}}{{2,3316}} \approx 42,888{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta thu được diện tích lớn nhất là \(43{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).

Đáp án: 43.