Mã số Arch là một số có bẩy chữ số. Các chữ số đó được lập lại bằng đúng giá trị của số đó

Ta có: 7 = 7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4

                    = 1 + 2 + 4.

Trường hợp 1: 7 số 7 ta có 1 số là 7777777

Trường hợp 2: 1 số 1 và 6 số 6 ta có 7 số: 1666666; 6166666; 6616666;…; 6666661.

Trường hợp 3: Có 2 số 2; 5 số 5.

Xếp số 2 đầu tiên vào 7 vị trí có 7 cách xếp nên khi xếp số 2 còn lại có 6 cách xếp. Vì khi đổi thứ tự 2 số 2 thì không tạo ra số mới nên mỗi cách xếp lặp lại 2 lần, ví dụ 2₁2₂55555 Và 2₂2₁ 55555. Ta lập được số số là: (7 × 6) : 2 = 21 (số)

Trường hợp 4: Có 3 số 3; 4 số 4.

Xếp số 3 đầu tiên có 7 cách xếp, số 3 tiếp theo có 6 cách xếp và số 3 còn lại có 5 cách xếp. Vì khi đổi thứ tự 3 số 3 thì không tạo ra số mới nên mỗi cách sắp xếp sẽ lặp lại 6 lần, ví dụ 3₁3₂3₃4444; 3₁3₃3₂4444;....

Ta lập được số số là: (7 × 6 × 5) : 6 = 35 (số)

Trường hợp 5: Có 1 số 1; 2 số 2; 4 số 4

Xếp số 1 đầu tiên có 7 vị trí nên có 7 cách xếp.

Sau khi xếp số 1 còn lại 6 vị trí thì tương tự 2 số 2 tiếp theo có số cách xếp vào 6 vị trí là: 6 × 5 : 2 = 15 (cách xếp)

Ta lập được số số là: 7 × 15 = 105 (số)

Ta có: 1 + 7 + 21 + 35 + 105 = 169 (số)

Đáp số: 169 mã số.