Lấy một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi vecto MA + vecto MB  + vecto MC = 3 vecto MG

Lời giải

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0\).

Với điểm M bất kì, ta có:

\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} \)

\( = 3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {MG} + \vec 0 = 3\overrightarrow {MG} \).

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \).